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2008信息与计算科学专业计算方法习题参考解答 江世宏编
第四章 数值积分
姓名 学号 班级
习题主要考察点：代数精度的计算，构造插值型求积公式（梯形，辛甫生公式），复化求积的计算，高斯公式的构造。 1给定求积公式
?h?hf(x)dx?af(?h)?bf(0)?cf(h)试确定a,b,c使它的代数精度尽可能
高。（代数精度的应用和计算）
解：分别取f(x)?1,x,x2，使上述数值积分公式准确成立，有；
?a?b?c?2h? ?a(?h)?c(h)?0?a(?h)2?c(h)2?2h3/3?h4hh,c?。 解得：a?,b?333hh4hhf(0)?f(h)。 故求积公式为?f(x)dx?f(?h)??h333hh4hh333?0?(h)3?0 再取f(x)?x，左边=?xdx?0，右边=(?h)??h333再取f(x)?x42h5h4hh42h54?0?(h)?，左边=?xdx?，右边=(?h)?
?h53333h4此求积公式的最高代数精度为3。 2 求积公式
?10f(x)dx?A0f(0)?A1f(1)?B0f?(0)，试确定系数A0,A1及B0，使该求积
公式具有尽可能高的代数精确度，并给出代数精确度的次数。（代数精度的应用和计算） 解：分别取f(x)?1,x,x，使求积公式准确成立，有
2?A0?A1?1??A1?B0?1/2 ?A?1/3?1211,A1?,B0?。 3361211求积公式为?f(x)dx?f(0)?f(1)?f?(0)。
03361121133再取f(x)?x，左边=?xdx???0??1??0?右边
04336解得：A0?故该求积公式的最高代数精度为2。 3数值积分公式
?303f(x)dx?[f(1)?f(2)]，是否为插值型求积公式，为什么？又该公式
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的代数精确度为多少？（插值型求积公式特征）
3解：令f(x)?1，dx?3?03?33[1?1]?[f(1)?f(2)] 22f(x)?x，?xdx?03933?[1?2]?[f(1)?f(2)] 2221533?[1?22]?[f(1)?f(2)] 222bf(x)?x，?x2dx?9?20故代数精度为1。由于求积节点个数为2，代数精度达到1次，故它是插值型的求积公式。 4如果f??(x)?0，证明用梯形公式计算积分几何意义。（梯形求积） 解：梯形求积公式
?af(x)dx所得到的结果比准确值大，并说明其
T?b?a[f(a)?f(b)] 2是由过点(a,f(a))，(b,f(b))的线性插值函数
L(x)?x?bx?af(a)?f(b) a?bb?a在[a,b]上的定积分。
注意到：在区间[a,b]上，f??(x)?0，而(x?a)(x?b)?0，有
bbbbI?T??f(x)dx??L(x)dx??[f(x)?L(x)]dx??aaaaf??(?)(x?a)(x?b)dx?0 2!从而I?T。
其几何意义可作以下解释：
在区间[a,b]上，f??(x)?0，故曲线y?f(x)下凹，直线y?L(x)位于曲线之上，因
bb此，曲边梯形的面积I??f(x)dx小于梯形面积T??L(x)dx。
aa
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1?1xdx，并估计误差。（复化梯形求积）
2?111?，取求积节点为xi?1??i(i?0,1,?,4) 解：h?4445用n?4的复化梯形公式计算积分
2?2131dx??xi?0xi?1xi?31h11dx??[f(xi)?f(xi?1)]?h[f(x0)?f(x1)?f(x2)?f(x3)?f(x4)]x22i?02114444141171?[??????]??0.6970 424567281680因
?211dx?ln2，则误差大约为：ln2?0.6970?0.0039。 x6设f(?1)?1,f(?0.5)?4,f(0)?6,f(0.5)?9,f(1)?2,则用复化辛甫生公式计算
?1?1f(x)dx，若有常数M使 |f(4)|?M，则估计复化辛甫生公式的整体截断误差限。（复
化辛甫生公式） 解：
?101?1f(x)dx??1?f(x)dx??f(x)dx
0?[141141f(?1)?f(?0.5)?f(0)]?[f(0)?f(0.5)?f(1)] 666666167?[1?4?4?6?6?4?9?2]??11.1667 660I?S2??1?f(4)(?1)(x?1)(x?0.5)2(x?0)dx?4!011?0f(4)(?2)(x?0)(x?0.5)2(x?1)dx 4!M?[?(x?1)(x?0.5)2(x?0)dx??(x?0)(x?0.5)2(x?1)dx] 24?10M?12M(x?0)(x?0.5)(x?1)dx??60210.522?t(0.25?t)dt?0M?0.0042 6?0.008M
17已知高斯求积公式
?1?f(x)dx?f(0.57735)?f(?0.57735) 将区间[0,1]二等分，用复
1化高斯求积法求定积分
11/2?01xdx的近似值。（高斯公式）
解：
?0xdx??0xdx?1/2?xdx
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1/2对于
?01/2xdx作变量换x?111?t，有 44?011xdx??1?tdt?[1?0.57735?1?0.57735]
8?181对于
1/211??xdx作变量换x?31?t，有 441/2111xdx??3?tdt?[3?0.57735?3?0.57735]
8?18?01xdx?[1?0.57735?1?0.57735?3?0.57735?3?0.57735]?0.6692
88 试确定常数A，B，C和a，使得数值积分公式
?2?2f(x)dx?Af(?a)?Bf(0)?Cf(a)有尽
可能高的代数精度。试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为高斯型的？（代数精度的应用和计算，高斯点的特征）
解：分别取f(x)?1,x,x2,x3,x4，使上述数值积分公式准确成立，有；
??A?B?C?4??A(?a)?C(a)?0?16?22 ?A(?a)?C(a)?3??A(?a)3?C(a)3?0??A(?a)4?C(a)4?64?5?整理得：
?A?B?C?4?A?C??216 ?a(A?C)?3??464?a(A?C)?5?解得：A?C?101612。 ,B?,a?995数值求积公式为
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