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2008信息与计算科学专业计算方法习题参考解答 江世宏编

?2?2f(x)dx?1012161012f(?)?f(0)?f() 95995再取f(x)?x，左边=

5??2?2x5dx?0，右边=

101251610125(?)??0?()?0 95995再取f(x)?x6，左边=

2?2x6dx?256101261610126768，右边=(? )??0?()?79599525可见，该数值求积公式的最高代数精度为5。由于该公式中的节点个数为3，其代数精度达到了2?3?1?5次，故它是高斯型的。

9设?Pn(x)?是[0,1]区间上带权?(x)?x的最高次幂项系数为1的正交多项式系 （1）求P2(x)。

（2）构造如下的高斯型求积公式

?10xf(x)dx?A0f(x0)?A1f(x1)。（高斯求积）

解（1）：采用施密特正交化方法，来构造带权?(x)?x且在[0，1]上正交的多项式序列 取P0(x)?1，设P1(x)?x??0P0(x)，且它与P0(x)在[0，1]上带权?(x)?x正交，于是

12x?dx0?(P0,P1)?(x,P0)??0(P0,P0)，?0??(x.P0)??01(P0,P0)?xdx02??

3故 P1(x)?x?22P0(x)?x?。 33设P2(x)?x2??1P1(x)在[0，1]上带权?(x)?x正交，0(x)、P1(x)??0P0(x)，且它与P于是

10?(P0,P2)?(x,P0)??0(P0,P0)，?0??2(x,P0)??01(P0,P0)12?xdx?xdx03??1 2(x2,P1)??10?(P1,P2)?(x,P1)??1(P1,P1)，?1??(P1,P1)223x(x?)dx?3022x(x?)dx?306??

5P2(x)?x2?6162163P1(x)?P0(x)?x2?(x?)??x2?x? 5253251017

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解（2）：P2(x)?x?2636?6x?的零点为：x1,2?。 51010设

?10xf(x)dx?A0f(6?66?6)?A1f() 1010分别取f(x)?1,x，使上述求积公式准确成立，有

1?A?A??A0?A1?1/201?2??，即 ??6?66?61A0?A1?1/3?A0?A1???10?10?36?解得：A0?1111?，A1??。 466466高斯型求积公式为

116?6116?6xf(x)dx?(?)f()?(?)f() ?046610466101 18

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第五章 非线性方程求根

姓名 学号 班级

习题主要考察点：二分法、迭代法、牛顿法和弦截法求根，迭代法求根的收敛性和收敛速度的讨论。

1用二分法求方程x?x?1?0的正根，要求误差小于0.05。（二分法）

解：f(x)?x2?x?1，f(0)??1?0，f(2)?1?0，f(x)在[0，2]连续，故[0，2]为函数的有根区间。

（1）计算f(1)??1?0，故有根区间为[1，2]。

2333231?1???0，故有根区间为[,2]。

222243777275?0，故有根区间为[,]。 （3）计算f()?()??1?244441631313132131]。 ?1??0，故有根区间为[,（4）计算f()?()?288886431313132131]。 ?1??0，故有根区间为[,（5）计算f()?()?28888642513252522531]。 ?1???0，故有根区间为[,（6）计算f()?()?1681616162565113515125155]。 ?1???0，故有根区间为[,（7）计算f()?()?328323232102410313511???0.032 （8）若取中点c?作为取根的近似值，其误差小于

6483232103*?1.6094，可满足精度要求。 取近似根x?64（2）计算f()?()?2说明方程x?lnx?4?0 在区间[1，2]内有惟一根x，并选用适当的迭代法求x（精确至3位有效数），并说明所用的迭代格式是收敛的。（迭代法）

2解：f(x)?x?lnx?4 x?[1,2]

2**f(1)??3?0，f(2)?ln2?0，f?(x)?2x?该方程在（1，2）之间存在着惟一的实根。 取迭代函数?(x)?显然1?3?1?22?0，故函数单调增加，因此，x4?lnx x?[1,2]

4?ln2??(x)?4?ln1?2，且 1?14?lne?1319

??(x)??x4?lnx?1

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故迭代xk?1?4?lnxk （k?1,2,?）对任意初始值x1?[1,2]收敛。

对于初值x1?1.5，其迭代值分别为

x2?1.8959，x3?1.8331，x4?1.8423，x5?1.8409

1?101?3，故x5?1.8409作为近似值，已精确到了3位有效数字。 223设有解方程12?3x?2cosx?0的迭代法xn?1?4?cosxn (1)证明?x0?R均有

3由于x4?x5?0.0014?n???*limxn?x*（x为方程的根）。(2)此迭代法的收敛阶是多少，证明你的结论。 (3) 取x0?4用此迭代法求方程根的近似值，误差不超过10，列出各次迭代值。（和收敛性讨论） 解(1)：?(x)?4??3222cosx，??(x)??sinx??1（x?(??,?)），故该迭代对任意333*初值均收敛于方程的根x。 解(2)：由x?4?*2102214?cosx*，故有???4??x*?4???2??。 333333??(x*)??sinx*?0，故该迭代的收敛速度是1阶的。

解(3):取x0?4，代入迭代式，可计算出以下结果：

23x1?3.5642，x2?3.3920，x3?3.3541，x4?3.3483，x5?3.3475

?3由于x5?x4?0.0008?10，取x?3.3475可满足精度要求。

*4设x???(x?)，max??(x)???1，试证明：由xn?1??(xn)n?0,1,? ，得到的序列?xn?收敛于x。（收敛性证明）

???证明：由x??(x)知，方程x??(x)有根。

xn?1?x*??(xn)??(x*)??xn?x*??2xn?1?x*????n?1x0?x*

*?由0???1，当n??时，有xn?1?x?0，即序列?xn?收敛于x。

*5 设方程3?3x?2sinx?0在[0,1]内的根为x，若采用迭代公式xn?1?1?**2sinxn，试3证明：?x0?R均有limxn?x(x为方程的根)；此迭代的收敛阶是多少，证明你的结论。

n??（迭代法和收敛性讨论）

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