内容发布更新时间 : 2024/5/21 4:03:26星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

目录

前言 vii

1 应用与方法概述 1

1.1 什么是偏微分方程 1 1.2 求解并解释偏微分方程 7

2 傅里叶级数 2.1 周期函数 18 2.2 傅里叶级数 26

2.3 以任意数为周期的函数的傅里叶级数 38 2.4 半幅展开:余弦级数和正弦级数 50 2.5 均方逼近和帕塞瓦尔恒等式 53 2.6 傅里叶级数的复数形式 60 2.7 受迫振动 69 收敛性的补充内容

2.8 傅里叶级数表示定理的证明 77 2.9 一致收敛性和傅里叶级数 85

2.10 狄利克雷判别法和傅里叶级数的收敛性 94

3 直角坐标中的偏微分方程 3.1 物理和工程中的偏微分方程 104

3.2 建模2 弦振动和波动方程 109 3.3 一维波动方程的求解:分离变量法 114 3.4 达朗贝尔方法 126 3.5 一维热传导方程 135

3.6 棒中的热传导:各种边界条件 146 3.7 二维波动方程和热传导方程 155 3.8 直角坐标中的拉普拉斯方程 163 3.9 泊松方程:特征函数展开法170 3.10 诺伊曼条件和罗宾条件 180 3.11 最大值原理 187

4 极坐标与柱面坐标中的偏微分方程 17

103

193

4.1 各个坐标系中的拉普拉斯算子 194 4.2 圆膜的振动:对称情况 198 4.3 圆膜的振动:一般情况 207 4.4 圆域中的拉普拉斯方程 216 4.5 圆柱体中的拉普拉斯方程 228 4.6 亥姆霍兹方程和泊松方程 231 关于贝塞尔函数的补充内容 4.7 贝塞尔方程和贝塞尔函数 237 4.8 贝塞尔级数展开 248

4.9 贝塞尔函数的积分公式和渐近式 261

5 球面坐标中的偏微分方程 269

5.1 问题和方法概述 270 5.2 对称狄利克雷问题 274

5.3 球面调和函数和一般狄利克雷问题 281

5.4 亥姆霍兹方程及其在泊松方程、热传导方程和波动方程中的应用 291 关于贝塞尔函数的补充内容 5.5 勒让德微分方程 300

5.6 勒让德多项式和勒让德级数展开 308 5.7 连带勒让德函数和连带勒让德级数展开 319

6 施图姆-刘维尔理论及其在工程中的应用 325

6.1 正交函数326

6.2 施图姆-刘维尔理论 333 6.3 悬链 346

6.4 四阶施图姆-刘维尔理论 353 6.5 梁的弹性振动和屈曲 360 6.6 双调和算子 371 6.7 圆板的振动 377

7 傅里叶变换及其应用 389

7.1 傅里叶积分表示 390 7.2 傅里叶变换 398 7.3 傅里叶变换法 411

7.4 热传导方程和高斯核 420 7.5 狄利克雷问题和泊松积分公式 429 7.6 傅里叶余弦变换和正弦变换 433 7.7 半无限区间上的问题 440 7.8 广义函数 445

7.9 非齐次热传导方程 461 7.10 杜阿梅尔原理 471

8 拉普拉斯变换和汉克尔变换及其应用 8.1 拉普拉斯变换 480

8.2 拉普拉斯变换的进一步性质 491 8.3 拉普拉斯变换法 502 8.4 汉克尔变换及其应用 508

9 有限差分数值方法 9.1 热传导方程的有限差分法 516 9.2 波动方程的有限差分法 525 9.3 拉普拉斯方程的有限差分法 533 9.4 拉普拉斯方程的迭代法 541

10 抽样和离散傅里叶分析及其在偏微分方程中的应用10.1 抽样定理 547

10.2 偏微分方程与抽样定理 555

10.3 离散傅里叶变换与快速傅里叶变换 559 10.4 傅里叶变换与离散傅里叶变换 567

11 量子力学引论 11.1 薛定鄂方程 573 11.2 氢原子 574

11.3 海森伯格不定性原理 581 关于正交多项式的补充内容

11.4 埃尔米特多项式和拉盖尔多项式 590

12 格林函数和保角映射 479

515

546

573

611