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江苏省连云港市灌云县四队中学高中数学选修2-2教案：空间向量基本定理

教学 目标 1．掌握及其推论，理解空间任意一个向量可以用不共面的三个已知向量线性表示，而且这种表示是唯一的； 2．在简单问题中，会选择适当的基底来表示任一空间向量。 教学重点：空间向量的基本定理及其推论 教学难点：空间向量的基本定理唯一性的理解 重点难点 教学过程 一、创设情景 平面向量基本定理的内容及其理解 ??如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对 ?于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数?1,?2， e2a使a??1e1??2e2 二、建构数学 1、空间向量的基本定理 e1如果三个向量e1,e2,e3不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组(x,y,z)，使p?xe1?ye2?ze3 证明：（存在性）设e1,e2,e3不共面， 过点O作OA?e1,OB?e2,OC?e3,OP?p[ 过点P作直线PP?平行于OC，交平面OAB于点P?； OAA'C'CPBP'B'在平面OAB内，过点P?作直线P?A?//OB,P?B?//OA，分别与直线OA,OB相交于点A?,B?，于是，存在三个实数x,y,z，使 OA/?OA?xe1,OB/?OB?ye2,OC/?OC?ze3 ∴OP?OA??OB??OC??xOA?yOB?zOC 所以p?xe1?ye2?ze3 （唯一性）假设还存在x?,y?,z?使p?x/e1?y/e2?z/e3 ∴xe1?ye2?ze3?x/e1?y/e2?z/e3 ∴(x?x/)e1?(y?y/)e2?(z?z/)e3?0 y?y/z?z/e2?e3 不妨设x?x?即x?x??0 ∴e1??x?x/x?x/∴e1,e2,e3共面此与已知矛盾 ∴该表达式唯一 综上两方面，原命题成立 由此定理， 若三向量e1,e2,e3不共面，那么空间的任一向量都可由e1,e2,e3线性表示，我们把{e1,e2,e3}叫做空间的一个基底，e1,e2,e3叫做基向量。 空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底 如果空间一个基底的三个基向量两两互相垂直，那么这个基底叫做正交基底，特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用i,j,k表示。 推论：设O,A,B,C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数??x,y,z，使OP?xOA?yOB?zOC 三、数学运用 1、例1 如图，在正方体OADB?CA/D/B/中，，点E是AB与OD的交点,M是OD与CE的交点，试分别用向量OA,OB,OC表示OD和OM 解：OD/?OA?OB?OC C B/ A/ D/ /111OM?OA?OB?OC[ 333 M B E O A D 课外作业 教学反思