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2016年全国高中数学联赛江西省预赛

试题解答

2016年6月5日上午8:30??11:00

一、填空题（每小题7分，共56分）

1、若y?log2016x2?ax?65的值域为R?，那么a的取值范围

是 ．答案：?16?a?16．

解：由值域y?R?，?x?ax?65?1，?x?ax?64?0

22?????a2?4?64?0，??16?a?16.

2、?ABC是一个正三角形，AD?BD?2，AD?BD，四面体ABCD中，

AD?CD，则D到面ABC的距离为 ．答案：解：如图，据题意得，AB?23． 3AD2?BD2?22， AC于是BC?CA?AB?22，CD?222AC2?AD2?2，

因BC?BD?CD，得BD?CD，从而以D 为顶点的三面角是三直三面角， 四面体体积V?DB143AD?S?BCD?，而S?ABC??AB2?23， 334若设D到面ABC的距离为h，则V?123234h?S?ABC?h，h?，由 3333得到h?23． 33、若对于所有的正数x,y，均有x?y?ax?y，则实数a的最小值

是 ．答案：2．

1

?yy?xx????2， 解：由????1，得???x?y??x?y?x?yx?y????当x?y时取等号．

4、已知P是正方形ABCD内切圆上的一点，记?APC??,?BPD??，

则tan2??tan2?? ．答案：8． 解：如图建立直角坐标系，设圆方程为x?y?r， 则正方形顶点坐标为A(?r,?r),B(r,?r),C(r,r),D(?r,r)， A若点P的坐标为P(rcos?,rsin?)，于是直线

22222YDPOCXBPA,PB,PC,PD的斜率分别为 kPA?1?sin?1?sin?1?sin?1?sin?,kPB??,kPD??，kPC?，

1?cos?1?cos?1?cos?1?cos?2?k?kPA?22所以tan???PC??4(cos??sin?)，

?1?kPAkPC??kPD?kPB?22tan?????4(cos??sin?)，

?1?kPBkPD?由此立得tan22??tan2??8．

解2：取特例，P在坐标轴上，则???， 这时，tan??cot??2?2?tan?，?tan2??tan2??22?22?8 15、等差数列2,5,8,?,2015与4,9,14,?,2014的公共项（具有相同数值

的项）的个数是 ．答案：134．

解：将两个数列中的各项都加1，则问题等价于求等差数列3,6,9,?,2016与等差数列5,10,15,?,2015的公共项个数；前者是M??1,2,3,?,2016?中的全体能被3整除的数，后者是M中的全体能被5整除的数，故公共项

2

是M中的全体能被15整除的数，这种数有??2016??134个． ??15?436、设x为锐角，则函数y?sinxsin2x的最大值是 ．答案：．

9解：由y?2sin2xcosx，

得y2?4sin4xcos2x?2(1?cos2x)(1?cos2x)?2cos2x

?(1?cos2x)?(1?cos2x)?2cos2x??2?16?2??2?， ????3?3?27??所以y?331432．当cosx?时取得等号．

397、若将前九个正整数1,2,3,4,5,6,7,8,9分别填写于一张3?3方格表的九

个格子中，使得每行三数的和，每列三数的和皆为质数，你的填法是

解答：（答案有多种） 179

263

845

8、把从1到n(n?1)这n个连续正整数按适当顺序排成一个数列，使得数15．列中每相邻两项的和为平方数，则正整数n的最小值是 ．答案：

例如，排出的一个数列为

(8,1,15,10,6,3,13,12,4,5,11,14,2,7,9)．

解：这是一个操作问题，若用文字表达较为繁琐，故适宜作为填空题直接操作．

记这n个连续正整数的集合为M??1,2,?,n?，由于n?1，

则M中必有2，而2?7?9，所以n?7，当n?7时，从1到7这7个数可以搭配成满足条件的三个数段：

(1,3,6),(2,7),(4,5)，但它们不能连接成一个7项的数列，故应增加后续的

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