2016年全国高中数学联赛江西省预赛试题及其解答 下载本文

内容发布更新时间 : 2024/12/25 0:58:39星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

2016年全国高中数学联赛江西省预赛

试题解答

2016年6月5日上午8:30??11:00

一、填空题(每小题7分,共56分)

1、若y?log2016x2?ax?65的值域为R?,那么a的取值范围

是 .答案:?16?a?16.

解:由值域y?R?,?x?ax?65?1,?x?ax?64?0

22?????a2?4?64?0,??16?a?16.

2、?ABC是一个正三角形,AD?BD?2,AD?BD,四面体ABCD中,

AD?CD,则D到面ABC的距离为 .答案:解:如图,据题意得,AB?23. 3AD2?BD2?22, AC于是BC?CA?AB?22,CD?222AC2?AD2?2,

因BC?BD?CD,得BD?CD,从而以D 为顶点的三面角是三直三面角, 四面体体积V?DB143AD?S?BCD?,而S?ABC??AB2?23, 334若设D到面ABC的距离为h,则V?123234h?S?ABC?h,h?,由 3333得到h?23. 33、若对于所有的正数x,y,均有x?y?ax?y,则实数a的最小值

是 .答案:2.

1

?yy?xx????2, 解:由????1,得???x?y??x?y?x?yx?y????当x?y时取等号.

4、已知P是正方形ABCD内切圆上的一点,记?APC??,?BPD??,

则tan2??tan2?? .答案:8. 解:如图建立直角坐标系,设圆方程为x?y?r, 则正方形顶点坐标为A(?r,?r),B(r,?r),C(r,r),D(?r,r), A若点P的坐标为P(rcos?,rsin?),于是直线

22222YDPOCXBPA,PB,PC,PD的斜率分别为 kPA?1?sin?1?sin?1?sin?1?sin?,kPB??,kPD??,kPC?,

1?cos?1?cos?1?cos?1?cos?2?k?kPA?22所以tan???PC??4(cos??sin?),

?1?kPAkPC??kPD?kPB?22tan?????4(cos??sin?),

?1?kPBkPD?由此立得tan22??tan2??8.

解2:取特例,P在坐标轴上,则???, 这时,tan??cot??2?2?tan?,?tan2??tan2??22?22?8 15、等差数列2,5,8,?,2015与4,9,14,?,2014的公共项(具有相同数值

的项)的个数是 .答案:134.

解:将两个数列中的各项都加1,则问题等价于求等差数列3,6,9,?,2016与等差数列5,10,15,?,2015的公共项个数;前者是M??1,2,3,?,2016?中的全体能被3整除的数,后者是M中的全体能被5整除的数,故公共项

2

是M中的全体能被15整除的数,这种数有??2016??134个. ??15?436、设x为锐角,则函数y?sinxsin2x的最大值是 .答案:.

9解:由y?2sin2xcosx,

得y2?4sin4xcos2x?2(1?cos2x)(1?cos2x)?2cos2x

?(1?cos2x)?(1?cos2x)?2cos2x??2?16?2??2?, ????3?3?27??所以y?331432.当cosx?时取得等号.

397、若将前九个正整数1,2,3,4,5,6,7,8,9分别填写于一张3?3方格表的九

个格子中,使得每行三数的和,每列三数的和皆为质数,你的填法是

解答:(答案有多种) 179

263

845

8、把从1到n(n?1)这n个连续正整数按适当顺序排成一个数列,使得数15.列中每相邻两项的和为平方数,则正整数n的最小值是 .答案:

例如,排出的一个数列为

(8,1,15,10,6,3,13,12,4,5,11,14,2,7,9).

解:这是一个操作问题,若用文字表达较为繁琐,故适宜作为填空题直接操作.

记这n个连续正整数的集合为M??1,2,?,n?,由于n?1,

则M中必有2,而2?7?9,所以n?7,当n?7时,从1到7这7个数可以搭配成满足条件的三个数段:

(1,3,6),(2,7),(4,5),但它们不能连接成一个7项的数列,故应增加后续的

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