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2018年普通高等学校招生全国统一考试

数 学I卷（理）（浙江卷）

一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）

1．已知全集U??1,2,3,4,5?，A??1,3?，则eUA?( )

（A）? （B）?1,3? （C）?2,4,5? （D）?1,2,3,4,5?

x2?y2?1的焦点坐标是（ ） 2．双曲线3???2,0? （B）??2,0?,?2,0? （C）?0,?2?,?0,2? （D）?0,?2?,?0,2?

（A）?2,0,3．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm）是（ ） （A）2 （B）4 （C）6 （D）8

32 (i为虚数单位)的共轭复数是（ ） 1?i（A）1?i （B）1?i （C）?1?i （D）?1?i

4．复数

5．函数y?2sin2x的图像可能是（ ）

|x|

6．已知平面?，直线m,n满足m??，n??，则“m//n”是“m//?”的（ ）

（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件

7．设0?p?1，随机变量?的分布列如右图所示。则当p在?0,1?内增 大时，（ ） （A）D???减小 （B）D???增大 （C）D???先减小后增大 （D）D???先增大后减小

? P 0 1 2 1?p1p 2228．已知四棱锥S?ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点），设SE与BC所成的角为?1，SE与平面ABCD所成的角为?2，二面角S?AB?C的平面角为?3，则（ ）

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（A）?1??2??3 （B）?3??2??1 （C）?1??3??2 （D）?2??3??1

9．已知a,b,c是平面向量，e是单位向量。若非零向量a与e的夹角为

?，向量b满足3b?4e?b?3?0，则|a?b|的最小值是（ ）

（A）3?1 （B）3?1 （C）2 （D）2?3 10．已知a1,a2,a3,a4成等比数列，且a1?a2?a3?a4?ln?a1?a2?a3?。若a1?1，则（ ） （A）a1?a3，a2?a4 （B）a1?a3，a2?a4 （C）a1?a3，a2?a4 （D）a1?a3，a2?a4

2二．填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）

11．我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一，凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁、鸡母，鸡雏个数分别为x,y,z，

?x?y?z?100?则?，当z?81时，x?_______，y?_______。 z5x?3y??100?3??x?y?0?12．若x,y满足约束条件?2x?y?6，则z?x?3y的最小值是_________，最大值是__________。

?x?y?2?13．在?ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c。若a?7，b?2，A?600，则

sinB?__________，c? 。

1??14．二项式?3x??的展开式的常数项是___________。 2x????x????x?4??R15．已知，函数f?x???2，当??2时，不等式f?x??0的解集是

??x?4x?3?x???___________。若函数f?x?恰有2个零点，则?的取值范围是___________。

16．从1,3,5,7,9中任取2个数字，从0,2,4,6中任取2个数字，一共可以组成__________个没有重复数字的四位数。(用数字作答)

8x2?y2?m?m?1?上两点A,B满足AP?2PB，则当m?___________时，17．已知点P?0,1?，椭圆 4点B横坐标的绝对值最大。

三．解答题（本大题共有5题，满分74分。解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤）

18．(本题满分14分) 已知角?的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点

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5?34?P??,??。⑴求sin?????的值；⑵若角?满足sin??????，求cos?的值。

13?55?19．(本题满分15分) 如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A,B1B,C1C均垂直于平面ABC，?ABC?120，A1A?4，C1C?1，AB?BC?B1B?2。⑴证明：AB1?平面A1B1C1；⑵求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值。

20．(本题满分15分) 已知等比数列?an?的公比q?1，且a3?a4?a5?28，

0a4?2是a3,a5的等差中项。数列?bn?满足b1?1，数列??bn?1?bn?an?的前n项

和为2n?n。⑴求q的值；⑵求数列?bn?的通项公式。

221．(本题满分15分) 如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y?4x上存在不同的两点A,B满足PA,PB的中点均在C上。⑴设

2y2AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；⑵若P是半椭圆x??1?x?0?42上的动点，求?PAB面积的取值范围。

22．(本题满分15分) 已知函数f?x??x?lnx。⑴若f?x?在x?x1,x2?x1?x2?处导数相等，证

明：f?x1??f?x2??8?8ln2；⑵若a?3?4ln2，证明：对于任意k?0，直线y?kx?a与曲线y?f?x?有唯一公共点。

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2018年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）解答

一．选择题：CBCBD ADDAB

二．填空题：11．8,11；12．?2,8；13．21,3；14．7；15．?1,4?,?1,3?7?4,???；16．1260；17．5

18．解：⑴由角?的终边经过点P??,??3?5444?sin???sin?????sin??可知，故； ???555?⑵由角?的终边经过点P??,??3?535124?cos???sin????cos?????可知，由得。而?????513135?5616或cos???。 6565?????????，故cos??cos?????cos??sin?????sin?，得cos???19．解：⑴由题知AA1?AB，BB1?AB。又A1A?4，AB?B1B?2，故AB1?AB11?22，所

22以AB12?A1?A1B1。由BC?B1?BC，CC1?BC得1B?2，C1C?1，及BB1B1?AA1，因此ABB1C1?5。由AB?BC?2，?ABC?1200得AC?23。由CC1?AC，得AC1?13，所以22AB12?BC?AC1?B1C1。因此AB1?平面A1B1C1； 111，故AB⑵如图，过点C1作C1D?A交直线A1B1于点D，连结AD。因AB1?平1B1，面A1B1C1，故平面ABB1?平面A1B1C1。因C1D?A1B1，故C1D?平面ABB1。所以?C1AD是AC1与平面ABB1所成的角。由B1C1?5，A1B1?22，得cosC1A1B1?AC11?21C1D396sinCAB?1sinCAD??，，故，所以 。因CD?3111117AC1137此，直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值是3913。

20．解：⑴由题a3?a5?2a4?4，故28?a3?a4?a5?3a4?4，解得a4?8。故

?1?1520?a3?a5?8??q?，即?q?。而q?1，因此q?2；

q2?q?⑵设cn??bn?1?bn?an，数列?cn?前n项和为Sn?2n?n，则cn?Sn?Sn?1?4n?1?n?2?。又

2c1?S1?3，故cn?4n?1。由⑴知an?2，故bn?1?bn??4n?1??2，因此bn?b1???bk?1?bk??

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1???4k?1??2k?1n?11?k?n?2?。令Tn???4k?1??21?k?3?20?7?2?1?11?2?2?k?1n?1??4n?5??22?n?n?2?，

则Tn?3?2?7?212?1?2?1??4n?5??21?n，故Tn?3?4?2?1?4?2?2?2?4?22?n??4n?5??21?n，解

得Tn?14??4n?3??22?n?n?2?，从而bn?15??4n?3??22?n?n?2?。又b1?1，满足上式，所以

bn?15??4n?3??22?n。

2221．解：⑴设P?x0,y0?，Ay14,y1，By24,y2。因PA,PB的中点在抛物线上，故y1,y2为方

????程???y22?x0y?y0?24即y2?2y0y?8x0?y0因此y1?y2?2y0。所以PM垂?0的两个不同实数根，??4?2?2直于y轴；

?1232?y1?y2?2y022|PM|?y?y?x?y0?3x0，|y1?y2|?22y0⑵由⑴知?，故?4x0， ??120284yy?8x?y?00?12??因此S?PAB23y1?1322?220?1，故y0?4x0??4?x0???5。因?|PM|?|y1?y2|?y0?4x0?2。因x0??42?24?22??1?x0?0，故y0?4x0??4,5?，从而?PAB面积的取值范围是??62,15104?。

22．18．解：⑴由题f??x??12x?11111，因f??x1??f??x2?，故???。又x1?x2，x2x1x12x2x2故1111x1x2?x1?x2?24x1x2，因x1?x2，故x1x2?256。由题??。由基本不等式可得2x1x22x1?lnx1?x2?lnx2?意可得f?x1??f?x2??11x?lnx，则 x1x2?ln?x1x2?。设g?x??22g??x??14x?x?4。如右表所示，可知g?x?在?256,???上

?x g??x? g?x? ?0,16? ? 16 0 ?16,??? ? 单调递增，从而g?x1x2??g?256??8?8ln2，所以

f?x1??f?x2??8?8ln2；

2?4ln2 ?|a|?1?m??kma?? ⑵令m?e??|a|?k?，n??则f???1，

?k??1a??1?|a|?|a|?k?k?a?0，f?n??kn?a?n???k??n??k??0，故存在x0??m,n?使得

?nn??n?第 5 页 共 6 页

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