内容发布更新时间 : 2024/5/28 22:48:01星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第二章习题

（一）

1．设连续曲线C:z?z(t),t?[?,?]，有 z'(t0)?0线C在点z(t0)有切线。

2．洛必达(L’Hospital)法则 若f(z)及g(z)在点z0解析，且

(t0?[?,?])，则（试证）曲

f(z0)?g(z0)?0,g'(z0)?0.

则（试证） limz?z0f(z)f'(z0) . ?g(z)g'(z0)?x3?y3?i(x3?y)3,z?0,?3．设 f(z)?? x2?y2?0,z?0,?试证f (z) 在原点满足C. –R. 方程，但却不可微. 4．试证下列函数在z平面上任何点都不解析：

1 （1）|z|； （2）x?y； （3）Rez； （4）

z5．试怕下列函数的可微性和解析性： （1）f(z)?xy2?ix2y； （2）f(z)?x2?iy2； （3）f(z)?2x3?3iy3；

（4）f(z)?x3?3xy2?i(3x2y?y3).

6．若函数f(z)在区域D内解析，且满足下列条件之一，试证f(z)在D内必为常数。

（1）在D内f'(z)?0； （2）f(z)在D内解析； （3）|f(z)|在D内为常数；

1

（4）Ref(z)或 Imf(z)在D内为常数。

7．如果f(z)在区域D内解析，试证 if(z)在区域D内也解析. 8．试证下列函数在z 平面上解析，并分别求出其导函数。 （1）f(z)?x3?3x2yi?3xy2?y3i)；

（2）f(z)?ex(xcosy?ysiny)?iex(ycosy?xsiny)； （3）f(z)?sinxcoshy?icosxsinhy； （4）f(z)?cosxcoshy?isinxsinhy. 9．试证下面的定理：

设 f(z)?u(r,?)?iv(r,?),z?rei?，

若 u(r,?),v(r,?)在点（r,?）是可微的，且满足极坐标的C. –R. 方程:

?u1?v?v1?u?(r?0)， ，???rr???rr??则f(z)在点z是可微的，并且

??u?v?f'(z)?(cos??isin?)??i???r???rr??u?v???i?. z??r?r?注：这里要适当割破z平面（如沿负实轴割破），否则?(z)就不是单值的。 10．设z?x?iy，试求 （1）|ei?2z|； （2）|e|； （3）Re(e)

z21z11．试证 （1）ez?ez； （2）sinz?sinz； （3）cosz?cosz. 12．试证：对任意的复数z及整数m， (ez)m?emz. 13．试求下面各式之值：（1）e3?i；（2）cos(1?i). 14．试验证：

sinzz?zcoszez?1?1； （2）lim?3. ?1； （3）lim （1）limz?0z?0z?0zz?sinzz15．设a.b为复常数，b?0，试证

2

n?1b2cos(a?nb)； （2.33） cosa?cos(a?b)??cos(a?nb)?b2sin2n?1sinbnb2sina?sin(a?b)??sin(a?nb)?sin(a?). （2.34）

b2sin2sin注：分别证明（2.33）和（2.34）由于a和b是复数，不能从（2.33）+i·（2.34）着手化简后，再比较“实、虚”部。 16．试证：

（1）sin(iz)?isinhz； （2）cos(iz)?coshz； （3）sinh(iz)?isinz； （4）cosh(iz)?cosz； （5）tan(iz)?itanhz； （6）tanh(iz)?itanz. 17．试证：

（1）cosh2z?sinh2z?1； （2）sech2z?tanh2z?1； （3）cosh(z1?z2)?coshz1coshz2?sinhz1sinhz2. 18．若z=x+iy，试证：

（1）sinz?sinx?coshy?icosx?sinhy； （2）cosz?cosx?coshy?isinx?sinhy； （3）|sinz|2?sin2x?sinh2y； （4）|cosz|2?cos2x?sinh2y.

19．试证 (sinhz)??coshz;(coshz)??sinhz. 20．试解方程：

（1）ex?1?3i； （2）lnz??i2；

（3）1?ex?0； （4）cosz?sinz?0； （5）tanz?1?2i.

3

n?(21．设z?rei?，试证 Re[lz11?)]22?lrn(1?r?2. cos)22．设w?3z确定在从原点z?0起沿正实轴割破了的z平面上，并且w(i)??i，试求w(?i)之值。

23．设w?3z确定在从原点z?0起沿负实轴割破了的z平面上，并且，试求w(i)之值。 w(?2)??32（这是边界上岸点对应的函数值）24．试求（1+ i）i及 3i之值.

25．已知f(z)?z4?1在Ox轴上A点（OA＝R>1）的初值为?R4?1，令z由A起沿正向在以原点为中心的圆周上走点的终值为何？

注：作了提示中的代换后，即可将原具有四个有限支点的繁难情形简化为具有单有限支点的情形.

26．试证：在将z平面适当割开后，函数f(z)?3(1?z)z2 能分出三个单值解析分支。并求出在点z = 2取负值的那个分支在z = i的值。

（二）

1．设函数f(z)?1圆周而至Oy轴的B点，问f(z)在B4?f?(z)?z，试证 Re?z?0,(|z|?1)。 2?1?z?f(z)?z是单位圆| z |<1内的单叶解析星像函数. 21?z 注：这里f(z)?2．设f(z)??zf??(z)?，试证 Re1?z???0,(|z|?1)。 ?1?z2f(z)??z是单位圆| z |<1内的单叶解析凸像函数. 1?z2 注：这里f(z)?3．若函数f (z )在上半z平面内解析，试证函数f(z)在下半z平面内解析. 4．（形式导数）（1）设二元实变函数u(x,y)有偏导数。此函数可以写成z?x?iy及

?z?zz?z,z的函数 u?u?2i?2??. ? 4

试证（形式地）

?u1??u?u??u1??u?u????i?,???i?. ?z2??x?y??z2??x?y?（2）设复变函数 f(z)?u(x,y)?iv(x,y)，且u(x,y)和v(x,y)都有偏导数.

试证（形式地）：地f ( z )，柯西-黎曼方程可以写成

?f?u?v??i?0. ?z?z?z（由此可见，解析函数是以条件

?f?0为其特征的。因此，我们不妨说，一?z个解析函数与z无关，而是z的函数。） 5．试证 |Imz|?|sinz|?e|Imz|.

n?|coRsh6．若|z|?R，试证 |siz,z|?cos|R c|z|?1内是单叶的。 7．证明函数 f(z)?2z?2z?在单位圆3提示 对圆内的任二相异点z1， z2，证明

f(z1)?f(z2)?0.

z1?z28．试论分值函数 f(z)?4(1?z)3(1?z)在割去线段[-1，1]的z平面上可以分出四个单值解析分支。求函数在割线上岸取正值的那个分支在点z??i的值。 9．已知f(z)?(1?z)(1?z2)在z＝0的值为1。令z描绘路线OPA（如图2.15）。点A为2，试求f(z)在点A的值。

10．试证f(z)?z(1?z)在割去线段0?Rez?1的z平面上能分出两个单值解析分支。并求出在支割线0?Rez?1上取正值时的那一支在z = -1的值，以及它的第二阶导数在z = -1的值。

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