内容发布更新时间 : 2024/12/28 15:55:45星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

函数、数列以及极限的综合题

例 已知函数y?f(x)的图象是自原点出发的一条折线．当n?y?n?1(n?0,1,2,?)时，该图象是斜率为b的线段（其中正常数b?1），设数列{xn}由f(xn)?n(n?1,2,?)定义． 求：

（1）求x1、x2和xn的表达式；

（2）求f(x)的表达式，并写出其定义域；

（3）证明：y?f(x)的图像与y?x的图象没有横坐标大于1的交点．

分析：本题主要考查函数的基本概念、等比数列、数列极限的基础知识，考查归纳、推理和综合的能力．

（1）由斜率分式求出x1、x2，同样由斜率公式求出关于xn的递推式，然后求出xn，（2）由点斜式求出[xn,xn?1]段的f(x)的表达式，用极限的方法求出定义域．（3）y?f(x)与

ny?x没有交点，只要b?1时f(x)?x，或0?b?1时f(x)?x恒成立，当b?1，由于

f(x)?x?f(xn)?xn，只要证f(xn)?xn?0.

解：（1）依题意f(0)?0，又由f(x1)?1，当0?y?1时，函数y?f(x)的图象是斜率为b?1的线段，故由

0f(x1)?f(0)?1得x1?1.

x1?0又由f(x2)?2，当1?y?2时，函数y?f(x)的图象是斜率为b的线段，故由

11f(x2)?f(x1)?b，即x2?x1?得x2?1?.

bbx2?x1记x0?0.由函数y?f(x)的图象中第n段线段的斜率为bn?1，故得

f(xn)?f(xn?1)n?1b

xn?xn?1又f(xn)?n,f(xn?1)?n?1; ∴xn?xn?1?()1bn?1,n?1,2,?

由此知数列{xn?xn?1}为等比数列，其首项为1，公比为.

1b1b?()n?111b因b?1，得xn??(xk?xn?1) ?1????n?1?, bbb?1k?1n1b?()n?1b即xn?. b?1（2）当0?y?1时，从（1）可知y?x，即当0?x?1时，f(x)?x, 当n?y?n?1时，即当xn?x?xn?1时，由（1）可知

f(x)?n?bn(x?xn)(xn?x?xn?1,n?1,2,3,?).

1b?()n?1b为求函数f(x)的定义域，须对xn?(n?1,2,3,?)进行讨论． b?11b?()n?1bb当b?1时，limxn?lim?;

n??n??b?1b?10?b?1时，n??，xn也趋向于无穷大．

综上，当b?1时，y?f(x)的定义域为[0,b); b?1当0?b?1时，y?f(x)的定义域为[0,??). （3）证法1 首先证明当b?1,1?x?对任意的x?(1,b时，恒有f(x)?x成立． b?1b)，存在xn使xn?x?xn?1，此时有 b?1f(x)?f(xn)?bn(x?xn)?x?xn(n?1), ?f(x)?x?f(xn)?xn.

又f(xn)?n?1?11???n?1?xn, bb?f(xn)?xn?0,

?f(x)?x?f(xn)?xn?0,

即有f(x)?x成立．

其次，当b?1，仿上述证明，可知当x?1时，恒有f(x)?x成立．

故函数f(x)的图象与y?x的图象没有横会标大于1的交点． 证法2 首先证明当b?1,1?x?用数学归纳法证明：

（ⅰ）由（1）知当n?1时，在(1,x2]上，y?f(x)?1?b(x?1),所以

b时，恒有f(x)?x成立． b?1f(x)?x?(x?1)(b?1)?0成立．

（ⅱ）假设n?k时在(xk,xk?1]上恒有f(x)?x成立． 可得f(xk?1)?k?1?xk?1,

在(xk?1,xk?2]上，f(x)?k?1?bk?1(x?xk?1), 所以 f(x)?x?k?1?bk?1(x?xk?1)?x

?(bk?1?1)(x?xk?1)?(k?1?xk?1)?0也成立．

由（ⅰ）与（ⅱ）知，对所有自然数n在(xn,xn?1]上都即1?x?b时，恒有f(x)?x. b?1其次，当b?1，仿上述证明，可知当x?1时，恒有f(x)?x成立．

说明： 本题不仅考查直线方程、数列、函数、不等式知识，还着重考查综合运用数学知识、思想方法解决问题的能力．解答本题首先必须具备较强的阅读理解能力，图象想像能力，本题的（2）用求极限的方法求定义域，反映了高考命题“不拘泥于大纲”的原则，不过从实践上看，与现在中学数学实际有些超前，本题的难度系数为0.02，三人平均不足1分，创了近年高考得分低的记录．

命题人设计试卷时为使考生不放弃难题，将本题放在倒数第二题的位置．本题得分低一方面是试题“超前”，另一方面反映考生能力差，现在中学数学备考主要是“大运用量”的模仿训练，创新精神提倡不够，一遇情境新颖的问题学生就毫无办法．以后坚持考不等式证明题的方向不会改变，试题难度会适度降低．

判断数列极限命题的真假

例 判断下列命题的真假：

1?(?1)n,?的极限是0和1． （1）数列0,1,0,1,?,21111,2,?3,?,(?1)n?1?n?1,?的极限是0． 2222111（3）数列sin1,sin,sin,?,sin,?的极限不存在．

23n（2）数列1,?