内容发布更新时间 : 2024/9/12 8:39:56星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
证明数列不等式作为高考题的压轴题,综合性强,难度较大,是区分度较大的一道题目。证明数列不等式的方法除了放缩法、利用单调性和数学归纳法证明之外,下面重点介绍利用绝对值不等式、作差证明数列不等式、作商证明数列不等式。
1、利用绝对值不等式a?b?a?b?a?b 设数列?an?满足|an?an?1|?1, 2(Ⅰ)求证:|an|?2n?1(|a1|?2)(n?N*)
3(Ⅱ)若|an|?()n,n?N*,证明:|an|?2,n?N*.
2解:(I)由an?an?11?1得an?an?1?1,故
22an2n?an?12n?1?1,n???, n2所以
a121???a1a2??a2a3??an?1an???????????1?n?1?n? n2??23?22??22?2??2?2an111 ??????21222n?1?1,
因此
an?2n?1?a1?2?.
(II)任取n???,由(I)知,对于任意m?n,
an2n???anan?1??n?n?1m22?2am??an?1an?2???n?1?n?22??2??am?1am????????m?1?m?
2???2111 ??????nn?1m?12221?n?1, 2所以
?1a?nan??n?1?m?2 m?2??2?11??n?1?m2??2m?3?????2?m?n??2 ???3??2????2n.
?4?所以对于任意m?n,均有
?3?an?2????2n.
?4?m由m的任意性得an?2. ① 否则,存在n0??,有an0?2,取正整数m0?log34?an0?22n0且m0?n0,则
?3?2????4?m0m0?3??2????4?n0log34an0?22n0?an0?2,
与①式矛盾.
综上所述,对于任意n???,均有an?2. 2、利用作差法 已知函数f(x)=ax+y=x?1.
(1)用a表示出b,c;
(2)若f(x)…lnx在[1,??)上恒成立,求a的取值范围;
n111(n…1). (3)证明:1???…+?ln(n?1)?2(n?1)n23b)处的切线方程为?c(a?0)的图象在点(1,f(1)
x解:(1)f?(x)=a-
?f(1)?a?b?c?0b,则有, ?2x?f?(1)?a?b?1?b?a?1解得?(步骤1)
?c?1?2aa?1+1-2a(步骤2) xa?1令g(x)?f(x)?ln(x)= ax++1-2a?lnx,x∈[1,+∞],
x(2)由(1)知,f(x)=ax+
a?11ax?x?(a?1)-==22xxxx21?a11)当0 a21?a若1<x<,则g?(x)<0,所以g(x) a2a(x?1)(x?则g(1)=0,g?(x)= a- 1?a)a(步骤2) 故f(x)…㏑x在[1,+∞)上不恒成立.(步骤3) 1?a12)当a…时,则g?(x)>0,g(x)是增函数,所以g(x)>g(1)=0,?1,若x?1, 2a即f(x)>lnx. ?1?故当x…1时,f(x)…lnx.综上所述,所求a的取值范围是?,+??.(步骤3) 2??k?111113).当a…时,有f(x)…lnx(x…1),令a=,有f(x)= (x?)…lnx,令x=, k222x有ln k?11?k?1k?1??1??1??<???1??1??????即 ?k2?kk?1?2kk?1???????1?11?ln(k+1)?lnk<???,k?1,2,3…n 上述n个不等式依次相加得到结果, 2?kk?1?即得到 n111(n…1)(步骤4) 1???…>ln(n?1)?2(n?1)n233、利用作商法 例、等比数列{an}的前n项和为Sn,已知对任意的n?N?,点(n,Sn),均在函数y?bx?r(b?0且b?1,b,r均为常数)的图像上. (1)求r的值; (11)当b=2时,记 bn?2(log2an?1)(n?N) 证明:对任意的n?N? ,不等式 n?b?1b1?1b2?1·······n?n?1成立 b1b2bn解:(I)根据题意得:Sn?b?r.当n?2时, an?Sn?Sn?1?bn?r?(bn?1?r)?bn?bn?1?(b?1)bn?1,由于b?0且b?1,所