内容发布更新时间 : 2024/12/25 13:04:27星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第7讲 直线的方程

课时数量 适用的学生水平 2课时（120分钟） √中等 ?优秀 ? ?基础较差 (1)掌握数轴上和平面直角坐标系中的基本公式． (2)理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式． (3)掌握直线方程的五种形式，体会斜截式与一次函数的关系． 教学目标（考试要求） (4)能根据直线方程判定两条直线平行或垂直关系． （5）能用解方程组的方法求两直线的交点坐标． （6）掌握点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离． （7）了解直线系及有关对称问题． 重点：掌握直线方程各种形式及平行垂直条件． 教学重点、难点 难点：运用直线方程有关知识解决几何问题． 建议教学方法 数形结合 讲练结合

教学内容

一、知识梳理

1．直线的倾斜角

在平面直角坐标系中，x轴正向和直线的向上方向所成角?就叫做直线的倾

?? 提 示 直线的斜率k与倾斜角?之间的关系为k斜角

当直线和x轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0° 可见，直线倾斜角的取值范围是0°≤?＜180° ?tan?，当?2．直线的斜率

直线过两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），且x1≠x2，则斜率k＝

为钝角时k＜0．所有的直线都有唯一的倾斜角，但并非所有直线都有斜率． y2?y1?y ?x2?x1?x或过两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）（x1≠x2）的直线的斜率k＝

y2?y1?y． ?x2?x1?x3．直线方程的五种形式

?? 提 示 所有的直线都有一般式，当直线平行于y轴时，这直线就只有一般式．

点斜式：y?y0?k(x?x0)， 斜截式：y?kx?b，

两点式：

y?y1x?x1y?y?，(y1?y2且x1?x2) 21x2?x1截距式：

xa?yb?1， 一般式：Ax?By?C?0，(A、B不同时为0）

4．特殊情况下的两直线平行与垂直

当两条直线中有一条直线没有斜率时：

(1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，互相平行； (2)当另一条直线的斜率为0时，即一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直王新敞 5．斜率存在时两直线的平行与垂直

（1）两条直线有斜率的直线：L1：y?k1x?b1,L2:y?k2x?b2,

l1//l2?k1＝k2且b1?b2 王新敞l1?l2?k1k2??1

（2）直线l1，l2的方程为l1：A1x?B1y?C1?0，l2：A2x?B2y?C2?0，

l1//l2?A1B2?A2B1,B1C2?B2C1(若A2B2C2?0也常用A1B1CA??1) 2B2C2l1?l2?A1A2?B1B2?0． 6．两条直线是否相交的判断

两条直线是否有交点，就要看这两条直线方程所组成的方程组：

??A1x?B1y?C1?0是否有惟一解． ?A2x?B2y?C2?07 直线系方程

若两条直线l1：A1x?B1y?C1?0，l2：A2x?B2y?C2?0有交点，则过l1与

l2交点的直线系方程为(A1x?B1y?C1)＋?(A2x?B2y?C2)?0或

(A2x?B2y?C2)＋?(A1x?B1y?C1)?0 (?为常数)

?? 提 示 具有某种共同性质(都过某点、共斜率等)的直线的集合，叫做直线系。它的方程叫做直线系方程，直线系方程的特征是含参数的二元一次方程．

8． 数轴上两点间距离公式：AB?xB?xA 9．直角坐标平面内的两点间距离公式：P1P2?(x1?x2)2?(y1?y2)2 10．设A（x1，y1）、B（x2，y2），则线段AB的中点M（x，y）满足

??x?x1?x2?2?y?y 2?y?1211．点P1（x1，y1）到直线Ax?By?C?0的距离d?Ax1?By1?CA2?B2．

12．两平行线Ax?By?C1?0与Ax?By?C2?0之间的距离

d?C1?C2A2?B2

二、方法归纳

1．判定点P０（x０，y０）与直线Ax?By?C?0的关系： 点P０在直线上，则Ax0?By0?C?0；

B?0时，点P０在直线上方，则B(Ax0?By0?C)?0；

点P０在直线下方，则B(Ax0?By0?C)?0；

2．直线系

与Ax?By?C?0平行的直线方程(包括原直线)：Ax?By???0 (?为待定系数)．

若所求直线过P(x0，y0)点，且与Ax?By?C?0平行，则方程为：A(x－x0)＋B(y－y0)＝0．

与Ax?By?C?0垂直的直线方程为：Bx?Ay???0 (?为待定系数)． 若所求直线过P(x0，y0)点，且与Ax?By?C?0垂直，则方程为：B(x－x0)－A(y－y0)＝0．

过A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线方程为：(A1x＋B1y＋C1)＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R，且不包含直线A2x＋B2y＋C2＝0)．

?? 提 示 直线方程有五种形式，各种形式反映直线的不同特征，要根据具体情况灵活运用．运用恰当可以减少计算量，使复杂问题简单化．

三、典型例题精讲

［例1］直线x?ay?a?0与直线ax?(2a?3)y?1?0互相垂直，则实数a的值为（ ）

A．2 B．－3或1 C．2或0 D．1或0 解析：当a＝0时，一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在，此时它们互相垂直；当a≠0时，由它们的斜率之积为－1，即?1a?a2a?3??1， 解之，a＝2． 故选Ｃ．

【技巧提示】把握两直线平行和垂直的条件，特别是斜率不存在的情形．

又例：直线2x＋y＋m＝0和x＋2y＋n＝0的位置关系是（ ） A 平行 B 垂直 C 相交但不垂直 D 不能确定 解析：两直线斜率分别为－

12和－2，不平行也不垂直，故选C． ［例2］△ABC的三个顶点为A(－3，0)，B(2，1)，C(－2，3)，求：

(1)BC所在直线的方程；

(2)BC边上中线AD所在直线的方程； (3)BC边的垂直平分线DE的方程．

解析：(1) 因为直线BC经过B(2，1)和C(－2，3)两点，由两点式，得 BC的方程为

y?1x?2?1?32?(?2)， 即x＋2y－4＝0． 2?(?2) (2)设BC中点D的坐标为(x，y)，则x?2?0，y?1?32?2， BC边的中线AD过点A(－3，0)，D(0，2)两点，由截距式，得 AD所在直线方程为x?3?y2＝1，即2x?3y?6?0． (3)BC的斜率k1?31＝

2?(?2)??12，则BC的垂直平分线DE的斜率k2＝2，

由斜截式得直线DE的方程为y?2x?2．

【技巧提示】 直线方程有多种形式，一般情况下，利用任何一种形式都可求出直线方程(不满足条件的除外)．但是如果选择恰当，解答会更加迅速．本题中的三个小题，依条件分别选择了三种不同形式的直线方程，应该掌握．

又例：若直线l经过点(1，1)，且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，则

直线l的条数为（ ） A、1 B、2 C、3 D、4 解析：本题应选截距式方程为宜，设所求直线方程为

xy??1，由题意，有 ab?11?a?b?1?a?2?a??2?22?a??2?22 ?，解之，?，?，?，

1b?2b??2?22b??2?22?????ab?2?2共三组解，即直线l的条数为3，故选C．

另：利用图形分析，亦可迅速得到直线l的条数为3的结论． ［例3］如图，直线y?ax? Ｏ A

x Ｏ B x Ｏ C x Ｏ D x y y 1的图象可能是（ ） ay y 解析：由直线方程知a≠0，当a＞0时，斜率a＞0，截距?像满足要求；当a＜0时，斜率a＜0，截距?1＜0，没有图a1＞0，图像A满足要求．故选A． a【技巧提示】 根据直线方程准确画出图象，是教学的基本要求．本题斜率、截距中含有同一参数a，需要对a进行讨论．较复杂的问题是参数多于１个的情形．

ax?y?b?0 l2：bx?y?a?0，(ab?0,a?b)又例：如图所示，直线l1：

的图象只可能是( )

Ａ Ｂ Ｃ Ｄ

解析：直线ax?y?b?0和bx?y?a?0可分别化为y?ax?b和

y?bx?a，