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七年级数学下学期试题

七年级下压轴题专题训练1

1．如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，CD⊥BC，E为BC上一点，且AB=CE，CD=BE． （1）求证：∠AED=90°；

（2）若EN平分∠AED交AD于N，试判断△BCN的形状并证明；

（3）在（2）问的条件下，猜想：△MBC与四边形ABCD的面积有何数量关系？并说明理由．

（1）证明：∵AB⊥BC，CD⊥BC， ∴∠ABE=∠ECD=90°， ∵在△ABE和△ECD中，

AB=CE ∠ABE=∠ECD CD=BE ， ∴△ABE≌△ECD（SAS）， ∴∠AEB=∠EDC，

∵∠EDC+∠DEC=90°， ∴∠AEB+∠DEC=90°， ∴∠AED=90°；

（2）解：△BCN为等腰直角三角形， 证明：∵△ABE≌△ECD， ∴AE=DE，∠BAE=∠DEC， ∵∠AED=90°，

∴△AED为等腰直角三角形， ∵EN平分∠AED，

∴∠NED=∠NAE=45°，EN⊥AD， ∴∠BAN=∠CEN，AN=EN， ∵在△BAN和△CEN中，

AB=EC ∠BAN=∠CEN AN=EN ，

∴△BAN≌△CEN（SAS）， ∴NB=NC，∠ANB=∠ENC， ∵∠ANB+∠BNE=90°， ∴∠ENC+∠BME=90°， ∴△BNC为等腰直角三角形；

（3）解：2S△BNC=S梯形ABCD．理由如下： 作NM⊥BC，

∵△AED为等腰直角三角形，EN平分∠AED， ∴N点为AD的中点，

∵AB⊥BC，CD⊥BC，NM⊥BC， ∴AB∥CD∥MN， ∴M点为BC的中点，

∴MN为梯形ABCD的中位线，NE⊥BC，

∴S△BNC=BC?NE?1/ 2 ， S梯形ABCD=BC?NE， ∴2S△BNC=S梯形ABCD．

2．已知x，y满足（x+2y）（x-2y）=-5(y2-求（1）（x-y）2；（2）x4+y4-x2y2．

解：∵（x+2y）（x-2y）=-5（y2-6 /5 ）， ∴x2-4y2=-5y2+6，∴x2+y2=6，

∵2x（y-1）+4（1/ 2 x-1）=0，∴2xy-2x+2x-4=0，∴xy=2， （1）（x-y）2=x2+y2-2xy=6-4=2；

（2）x4+y4-x2y2=（x2+y2）2-2x2y2-x2y2 =（x2+y2）2-3x2y2=36-3×4=24．

3．如图1，在等腰梯形ABCD中，BC∥AD，BC=8，AD=20，AB=DC=10，点P从A点出发沿AD边向点D移动，点Q自A点出发沿A→B→C的路线移动，且PQ∥DC，若AP=x，梯形位于线段PQ右侧部分的面积为S．

（1）分别求出点Q位于AB、BC上时，S与x之间函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）当线段PQ将梯形ABCD分成面积相等的两部分时，x的值是多少？ （3）在（2）的条件下，设线段PQ与梯形ABCD的中位线EF交于O点，那么OE与OF的长度有什么关系？借助备用图2说明理由；并进一步探究：对任何一个梯形，当一直线l经过梯形中位线的中点并满足什么条件时，其一定平分梯形的面积？（只要求说出条件，不需证明） 解：（1）等腰梯形中，∠A=∠D，因为PQ∥DC，所以QP=AQ， 当x≤12时，SAQP=1 2 x×2 3 x=1 3 x2，

当x＞12时，S梯形=SABP+S平行四边形=48+（x-12）×8，

所以 S△APQ= 1 3 x2(x≤12) S梯形=S△APQ+S平行四边形=48+(x-12)×8(12＜x≤20) ； （2）S梯形=1 2 （8+20）×8=112，

当线段PQ将梯形ABCD分成面积相等的两部分时， 即48+（x-12）?8=56， 解之得，x=13．

（3）如图所示，

①过点B作BM∥PQ，

由（2）得，PD=7=OE，在△ABM中，FN=1 2 AM=6，ON=PM=1，所以OF=7=OE．

研究发现，当直线L经过梯形中位线的中点且与较短的底（上底）相交时，它一定平分梯形的面积．

61)，2x(y-1)+4( x-1)=0． 52

4．平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系 （1）如图a，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，则有∠B=∠BOD，又因∠BOD是△POD的外角，故∠BOD=∠BPD+∠D，得∠BPD=∠B-∠D．将点P移到AB、CD内部，如图b，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请证明你的结论；

（2）在图b中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图c，则∠BPD﹑∠B﹑∠D﹑∠BQD之间有何数量关系？（不需证明）

（3）根据（2）的结论求图d中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数． 5．已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE，且CA=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE，直线AE与BD交于点F，

（1）如图1，若∠ACD=60°，则∠AFB= ；如图2，若∠ACD=90°，则∠AFB= ；如图3，若∠ACD=120°，则∠AFB= ；

（2）如图4，若∠ACD=α，则∠AFB= （用含α的式子表示）．