内容发布更新时间 : 2024/12/26 9:23:40星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

x1．设函数y??0costdt，求y'(0)，y'()。

4?【解】由题设得y'(x)?cosx，

于是得 y'(0)?cos0?1，y'()?cos??44?2。 22．计算下列各导数：

dx22⑴1?tdt； ?0dxdx2222d24【解】。 1?tdt?1?(x)(x)?2x1?x?0dxdxd1tedt； ⑵

dx?xxd1tdedt?(??etdt)??e【解】?dxxdx1xdex(x)??。 dx2xdcosx2cos(?t)dt； ?sinxdxcosxdcosxd022cos(?t)dt?[?cos(?t)dt??cos(?t2)dt] 【解】?0dxsinxdxsinxd0dcosx??cos(?t2)dt??cos(?t2)dt dxsinxdx0sinxddcosx?[??cos(?t2)dt]??cos(?t2)dt dx0dx0dd??cos(?sin2x)(sinx)?cos(?cos2x)(cosx)

dxdx⑶

??cos(?sin2x)cosx?cos[?(1?sin2x)](?sinx) ??cos(?sin2x)cosx?cos(???sin2x)sinx ??cos(?sin2x)cosx?cos(?sin2x)sinx ?cos(?sin2x)(sinx?cosx)。

dx21dt。 ⑷?lnxdxtx21dx21d11dt?[?dt??dt] 【解】?lnxlnx1tdxtdxtd11dx21??dt??dt dxlnxtdx1tlnx1ddx21?[??dt]??dt

1dxtdx1t Word 资料

1d1d2(lnx)?2(x)

lnxdxxdx111????2?2x

lnxxx1211????(2?)。

xlnxxxlnx??3．设函数y?y(x)由程【解法一】程

?xy0edt??costdt?0所确定，求

0txdy。 dx?y0edt??costdt?0中完成积分即为 et0yty0?sintx0?0，

y亦即为 (e?1)?sinx?0，得知e?1?sinx，

解出y，得y?ln(1?sinx)， 于是得

【解法二】在程

cosxdy1d?cosx?。 ?(1?sinx)?dx1?sinxdx1?sinxsinx?1etdt??costdt?0两边对x求导，注意到y?y(x)，得

0x?y0xdytd[?edt??costdt]?(0)

0dx0dxyd(y)?cosx?0， 即得 edxdydycosxydy?cosx?0，解出，得??y， 亦即edxdxdxe程

?y0etdt??costdt?0中完成积分即为 et0yxy0?sintx0?0，

y亦即为 (e?1)?sinx?0，得知e?1?sinx，

dycosx??y中， dxedycosxcosx???得。 dx1?sinxsinx?1ttdy4．设x??sinudu，y??cosudu，求。

00dx再将e?1?sinx代入

y【解】问题是由参数程求导

dydt?0cosuducostdydtdt??cott。 ?【解法一】?tdxddxsinudusint?dtdt0【解法二】

dycostdtcost???cott。 ?0tdxdsinudusintdtsint?0d?cosudut

Word 资料

5．求下列极限：

?⑴limx?0x0cost2dtx；

【解】这是“

0”未定型极限，应用洛必达法则，得 0x0?limx?0xcost2dtx；

cosx2?lim?cos02?1。 x?01?⑵limx?00arctantdtx20【解】这是“”未定型极限，应用洛必达法则，得

0?limx?0x0arctantdtx2?limarctanx ---- 应用洛必达法则

x?02x121?x ---- 再次应用洛必达法则 ?limx?02111???。 21?022⑶limx?0?x201?t2dt2x0【解】这是“”未定型极限，应用洛必达法则，得

0；

?limx?0x201?t2dtx21?(x2)2(x2)' ---- 应用洛必达法则 ?limx?02x1?x4?2x2 ---- 完成求导(x)' ?limx?02x?lim1?x4 ---- 整理

x?0?1?04?1。

(?edt)2xt2⑷limx?0?0x0tedt0”未定型极限，应用洛必达法则，得 02t2。

【解】这是“

Word 资料