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第十七章 多元函数微分学

1可微性

一、可性性与全微分

定义1：设函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某邻域U(P0)上有定义，对于U(P0)中的点P(x,y)=(x0+△x,y0+△y)，若f在点P0处的全增量可表示为： △z=f(x0+△x,y0+△y)-f(x0,y0)=A△x+B△y+o(ρ)，其中ρ=?x2??y2， o(ρ)是较ρ高阶的无穷小量，A,B是仅与点P0有关的常数， 则称函数f在P0可微. 并称A△x+B△y为函数f在点P0的全微分， 记作dz|P=df(x0,y0)=A△x+B△y.

0当|△x|,|△y|充分小时，dz可作为△z的近似值，即 f(x,y)≈f(x0,y0)+A(x-x0)+B(y-y0). 有时也表示为： △z= A△x+B△y+α△x+β△y；其中

例1：考察函数f(x,y)=xy在点(x0,y0)处的可微性. 解：在点(x0,y0)处函数的全增量为：

△z=f(x0+△x,y0+△y)-f(x0,y0)=y0△x+x0△y+△x△y. ∵

?x?y?x?y=ρ≤ρ→0, ρ→0.∴△x△y=o(ρ)，∴f在(x0,y0)处的可微， ρρρ(?x,?y)?(0,0)limα=

(?x,?y)?(0,0)limβ=0.

且df=y0△x+x0△y.

二、偏导数

定义2：设函数z=f(x,y), (x,y)∈D, 若(x0,y0)∈D且f(x,y0)在x0的某一邻

域内有定义，则极限?limx?0?xf(x0,y0)f(x0??x,y0)?f(x0,y0)=?存在时，limx?0?x?x这个极限称为函数f在(x0,y0)关于x的偏导数，记作： fx(x0,y0)或zx(x0,y0),

?f?x(x,y),

00?z?x(x0,y0).

?f?y(x0,y0)同样定义f在点(x0,y0)关于y的偏导数为：fy(x0,y0)或.

若f在区域D上每一点(x,y)都存在对x(或对y)的偏导数，则f在区域D上对x(或对y)的偏导函数(简称偏导数)，记作：fx(x,y)或(fy(x,y)或

注：1、这里符号

??d,专用于偏导数运算，与一元函数的导数符号?x?ydx?f?z?f(x,y)?f?z) 也简写为fx,zx或,( fy,zy或,). ?y?y?y?x?x?f(x,y) ?x相似，又有差别；

2、定义中，f在点(x0,y0)存在关于x(或y)的偏导数，f至少在 {(x,y)|y=y0,|x-x0|<δ}(或{(x,y)|x=x0,|y-y0|<δ})上必须有定义.

二元函数偏导数的几何意义：设P0(x0,y0,z0)是曲面z=f(x,y)上一点，过

?y?y0P0作平面y=y0与曲面的交线为C：其中?是平面上的一条曲线.

z?f(x,y)?因此，fx(x0,y0)作为一元函数f(x,y0)在x=x0的导数，就是曲线C在点P0处的切线Tx对于x轴的斜率，即Tx与x轴正向所成倾角的正切tanα.

?x?x0同样的，fy(x0,y0)是平面x=x0曲面z=f(x,y)的交线?在点P0处的

z?f(x,y)?切线Ty关于y轴的斜率tanβ.

例2：求函数f(x,y)=x3+2x2y-y3在点(1,3)关于x和关于y的偏导数. 解法1：fx(1,3)=fy(1,3)=

df(1,y)dyy?3df(x,3)dxx?1=3x2+12x=-25.

x?1=15；

=2-3y2

y?3解法2：∵fx(x,y)=3x2+4xy，∴fx(1,3)=15；又fy(x,y)=-3y2+2x2，∴fx(1,3)=-25.

例3：求函数z=xy (x>0)的偏导数. 解：zx=yxy-1；zy=xylnx.

例4：求三元函数u=sin(x+y2-ez)的偏导数.

解：ux=cos(x+y2-ez)；uy=2ycos(x+y2-ez)；uz=-ezcos(x+y2-ez).

三、可微性条件

定理17.1：(可微的必要条件)若二元函数f在定义域内一点(x0,y0)可微，则f在该点关于每个自变量的偏导数都存在，且△z=A△x+B△y+o(ρ)中A=fx(x0,y0), B=fy(x0,y0). 即全微分df

(x0,y0)=fx(x0,y0)·△x+fy(x0,y0)·△y.

或dz=fx(x0,y0)dx+fy(x0,y0)dy. f在D上全微分为df(x,y)=fx(x,y)dx+fy(x,y)dy.

xy?，x2?y2?0?2例5：考察函数f(x,y)=?x?y2在原点的可微性.

?0x2?y2?0?解：根据偏导数的定义，fx(0,0)=?limx?0f(?x,0)?f(0,0)=0; 同理fy(0,0)= 0;

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