内容发布更新时间 : 2024/11/15 7:37:36星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
真题演练集训
1．设圆x＋y＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于
2
2
C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.
(1)证明|EA|＋|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；
(2)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．
解：(1)因为|AD|＝|AC|，EB∥AC， 故∠EBD＝∠ACD＝∠ADC. 所以|EB|＝|ED|，
故|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|. 又圆A的标准方程为(x＋1)＋y＝16， 从而|AD|＝4，所以|EA|＋|EB|＝4.
由题设得A(－1,0)，B(1,0)，|AB|＝2，由椭圆定义可得，点E的轨迹方程为＋＝
431(y≠0)．
(2)当l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)．
2
2
x2y2
y＝kx－1，??22由?xy＋＝1，??43
2
得(4k＋3)x－8kx＋4k－12＝0，
2222
8k4k－12则x1＋x2＝2，x1x2＝2，
4k＋34k＋312
所以|MN|＝1＋k|x1－x2|＝
2
2
k2＋1
. 24k＋3
k， k＋1
21
过点B(1,0)且与l垂直的直线m：y＝－(x－1)，A到m的距离为
2
所以|PQ|＝2
?2?2
4－?2?＝4
?k＋1?
2
4k＋3
. k2＋1
2
故四边形MPNQ的面积为
S＝|MN||PQ|＝12121
1＋2. 4k＋3
可得当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为(12,83)．
当l与x轴垂直时，其方程为x＝1，|MN|＝3，|PQ|＝8，四边形MPNQ的面积为12. 综上，四边形MPNQ面积的取值范围为一种作图工具如图①所示．O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN＝ON＝1，MN＝3 .当栓子D在滑槽AB内做往复运动时，带动．．N绕O转动一周(D不动时，N也
不动)，M处的笔尖画出的曲线记为C.以O为原点， AB所在的直线为x轴建立如图②所示的平面直角坐标系．
① ②
(1)求曲线C的方程；
(2)设动直线l与两定直线l1：x－2y＝0和l2：x＋2y＝0分别交于P，Q两点．若直线l总与曲线C有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，请说明理由．
→
＝1，
→
→
→
解：(1)设点D(t,0)(|t|≤2)，N(x0，y0)，M(x，y)，依题意，MD＝2DN，且|DN|＝|ON|
所以(t－x，－y)＝2(x0－t，y0)，
?x0－t＋y0＝1，?
且?22
??x0＋y0＝1.
2
2
即?
?t－x＝2x0－2t，?
??y＝－2y0，
xx2
且t(t－2x0)＝0.
由于当点D不动时，点N也不动，所以t不恒等于0， 于是t＝2x0，故x0＝，y0＝－. 42代入x＋y＝1，可得＋＝1， 164故曲线C的方程为＋＝1.
164
1
(2)①当直线l的斜率不存在时，直线l为x＝4或x＝－4，都有S△OPQ＝×4×4＝8.
2②当直线l的斜率存在时， 1??设直线l：y＝kx＋m?k≠±?， 2??
2
0
20
yy2
x2y2
??y＝kx＋m，由?22
?x＋4y＝16?
2
2
消去y，可得
2
(1＋4k)x＋8kmx＋4m－16＝0.
因为直线l总与椭圆C有且只有一个公共点， 所以Δ＝64km－4(1＋4k)(4m－16)＝0， 即m＝16k＋4.(*1) 又由?
?y＝kx＋m，?
??x－2y＝0，
2
2
22
2
2
?2m，m?；
可得P??
?1－2k1－2k?
同理可得Q?
?－2m，m?.
?
?1＋2k1＋2k?
由原点O到直线PQ的距离为d＝
|m|
1＋k2
和|PQ|＝1＋k|xP－xQ|，
2
11
可得S△OPQ＝|PQ|·d＝|m||xP－xQ|
222m??2m?1?2m＋＝|m|?2?.(*2) ?＝?2?1－2k1＋2k??1－4k?将(*1)代入(*2)，得
2
?2m2?＝8|4k＋1|.
S△OPQ＝??
?1－4k?|4k2－1|
2
2
2?1?4k＋1??当k>时，S△OPQ＝8?2?＝8?1＋2?>8；
4?4k－1??4k－1?
2
2
2?1?4k＋1??当0≤k<时，S△OPQ＝8?2?＝8?－1＋2?.
1－4k?4?1－4k??
2
2
2212
因为0≤k<，则0<1－4k≤1，2≥2，
41－4k2??所以S△OPQ＝8?－1＋2≥8，
1－4k???当且仅当k＝0时等号成立． 所以当k＝0时，S△OPQ的最小值为8.
综合①②可知，当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时，△OPQ的面积取得最小值8.
课外拓展阅读 参数法求轨迹方程
已知抛物线y＝4px(p>0)，O为顶点，A，B为抛物线上的两动点，且满足OA⊥OB，如果OM⊥AB于点M，则点M的轨迹为________．
(1)点M的运动是由点A的运动引起的，而A的变动又和OA的斜率有关．(2)若OA的
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