罗尔定理、拉格朗日、柯西中值定理、洛必达法则与导数的应用 下载本文

内容发布更新时间 : 2024/12/23 17:31:30星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

证明:(1)令f(x)?arctanx, ∵f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,

∴由拉格朗日中值定理,得

arctana?arctanb?f?(ξ)(b?a)?1b?a?b?a21?ξ。

(2)令

f(x)?ex(x?1),∵f(x)在[1,x]上连续,在(1,x)内可导,

x∴由拉格朗日中值定理,得e∵1?ξ(3)令

?e ?eξ(x?1),

?x,∴ex?e?eξ(x?1)?e(x?1)?ex?e,从而当 x?1时,ex?ex。

f(x)?ln(1?x)(x?0),∵f(x)在[0,x]上连续,在(0,x)内可导,

x)?ln(1?x)?ln(1?0)?f?(ξ)(x?0)?1x, 1?ξ∴由拉格朗日中值定理,得ln(1?∵0?ξ?x,∴

1x?x,即x?0, ln(1?x)?x。 1?ξ(4)令

f(x)?lnx(x?0),∵f(x)在[x,1?x]上连续,在(x,1?x)内可导,

11)?ln(1?x)?lnx?f?(ξ)(1?0)?, xξ。

∴由拉格朗日中值定理,得ln(1?∵x?ξ?1?x,∴

1111?,即当x?0时,ln(1?)?ξ1?xx1?x★★12.证明等式:2arctanx?arcsin2x?π(x?1).

1?x2知识点:f?(x)?0?f(x)?C(C为常数)。

思路:证明一个函数表达式f(x)恒等于一个常数,只要证f?(x)?0

2x(x?1),

1?x2当x?1时,有2arctan1?arcsin1?π;当x?1时,有

证明:令f(x)?2arctanx?arcsin2f?(x)??21?x12(1?x2)?2x?2x212?2x2 ????22222(1?x)1?x1?x(1?x)2x21?()1?x2;

22?(?)?0,∴f(x)?C?f(1)??1?x21?x22x∴2arctanx?arcsin?π(x?1)成立。 21?x?★★★13.证明:若函数

f(x)在(-?,??)内满足关系式f?(x)?f(x),且f(0)?1,则f(x)?ex。

知识点:f?(x)?0?f(x)?C 思路:因为 f(x)?e?ex?xf(x)?1,所以当设F(x)?e?xf(x)时,只要证F?(x)?0即可 f(x),

证明:构造辅助函数F(x)?e则F?(x)?x?e?xf?(x)?e?xf(x)?0;

?x∴F(x)?e∴

f(x)?C?F(0)?1

f(x)?ex。

★★★14.设函数

f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内有二阶导数,且有

f(a)?f(b)?0,f(c)?0(a?c?b) ,

试证在(a,b)内至少存在一点ξ,使f??(ξ)?0。

知识点:拉格朗日中值定理的应用。 思路:关于导函数f(n)(ξ)在一点处符号的判断,根据已知条件和拉格朗日中值定理的结论,逐层分析

各层导函数改变量和自变量改变量的符号,得出结论。

证明:∵ f(x)在[a,c]、[c,b]上连续,在(a,c)、(c,b)内可导,

∴由拉格朗日中值定理,至少有一点ξ1使得又

?(a,c)、ξ2?(c,b),

f?(ξ2)?f(c)?f(b)f(a)?f(c)?0,f?(ξ1)??0;

c?ba?cf?(x)在[ξ1,ξ2]上连续,在(ξ1,ξ2)内可导,从而至少有一点ξ?(ξ1,ξ2), f??(ξ)?f?(ξ2)?f?(ξ1)?0。

ξ2?ξ1f(b?)/A,试证明f(x)在

使得

★★★15.设

?f(x)在[a,b]上可微,且f??(a)?0,f??(b)?0,f(a)(a,b)内至少有两个零点。

知识点:极限的保号性、介值定理、微分中值定理。

思路:要证明在某个区间(a,b)内导函数至少存在两个零点,只要证该函数在[a,b]上有三个零点,即可

以利用罗尔中值定理,得出结论。

证明:∵f??(a)?lim?f(x)?f(a)?0,由极限的保号性知,

x?ax?ab-af(x)?f(a)???(a,δ1)(不妨设δ1?),对于?x???(a,δ1),均有?0,

2x?a???(a,δ1),使得

f(x1)?f(a)?0,∴得f(x1)?f(a)?A;

x1?af(x2)?f(b)b-a?0, ),使得

x2?b2特别地,?x1同理,由

f??(b)?0,得?x2???(b,δ2)(δ2?从而得又∵∵

f(x2)?f(b)?A;

f(x)在[x1,x2]上连续,∴由介值定理知,至少有一点ξ?(x1,x2)使得f(ξ)?A;

f(x)在[a,ξ]、[ξ,b]上连续,在(a,ξ)、(ξ,b)内可导,且f(a)?f(ξ)?f(b)?A,

?(a,ξ)、ξ2?(ξ,b),使得f?(ξ1)?f?(ξ2)?0,结论成立。

∴由罗尔中值定理知,至少有一点ξ1★★★16.设

f(x)在闭区间[a,b]上满足f??(x)?0,试证明存在唯一的c,a?c?b,使得

f?(c)?f(b)?f(a)。

b?a知识点:微分中值定理或函数单调性的应用。

思路:证明唯一性的题目或考虑利用反证法;或正面论述。此题用反证法和罗尔中值定理,或利用函数的

单调性得出结论。

证明:存在性。

f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,∴由拉格朗日中值定理知,至少有一点c?(a,b),使得

f?(c)?f(b)?f(a)。

b?af(b)?f(a),

b?a唯一性的证明如下:

方法一:利用反证法。假设另外存在一点d?(a,b),使得f?(d)?又∵

f?(x)在[c,d](或[d,c])上连续,在(c,d)(或(d,c))内可导,

?(c,d)?(a,b)(或ξ?(d,c)?(a,b)),使得f??(ξ)?0,

∴由罗尔中值定理知,至少存在一点ξ这与

f(x)在闭区间[a,b]上满足f??(x)?0矛盾。从而结论成立。

方法二:∵f(x)在闭区间[a,b]上满足f??(x)?0,∴f?(x)在[a,b]单调递增,

从而存在存在唯一的c?(a,b),使得

★★★17.设函数

f?(c)?f(b)?f(a)。结论成立。

b?ay?f(x)在x?0的某个邻域内具有n阶导数,且

f(0)?f?(0)??f(n?1)(0)?0,试用柯西中值定理证明:

f(x)f(n)(θx)?(0?θ?1)。

n!xn知识点:柯西中值定理。

思路:对f(x)、g(x)?x在[0,x]上连续使用n次柯西中值定理便可得结论。 证明:∵f(x)、g(x)?x及其各阶导数在[0,x]上连续,在(0,x)上可导,

且在(0,x)每一点处,g(n?1)nn(x)?n!x?0,又f(0)?f?(0)??f(n?1)(0)?0,,

∴连续使用n次柯西中值定理得,

f(x)f(x)?f(0)f?(?1)f?(ξ1)?f?(0)?n???xnx?g(0)n?1n?1nξ1n?1?g?(0)f(n)(θx)?(0?θ?1),从而结论成立。

n!习题3-2

★★1.用洛必达法则求下列极限:

f(n?1)(ξn?1)?f(n?1)(0) ?(n?1)n!ξn?1?g(0)1ln(1?)e?elnsinxsinx?sinax;

(1) lim; (2) lim; (3)lim; (4)lim2πx?0x?ax???arccotxsinxx-ax?(π-2x)x?x2x3?1?lnxlntan7x(5)lim; (6)limx?1x??0lntan2xex?e1; (7) limtanx?xx?0x-sinx; (8)limx?0xcot2x;

(9) limx?0xex22; (10)lim11x1x(e?1); (11) (12)lim(?x);lim(?);x??x?0xx?1x-1lnxe?11xex?ln(1?x)?1ax1tanxsinx(13)lim(1?); (14)limx; (15)lim(); (16)lim;

??x?0x??x?0x?0x-arctanxxx1x1n22lim(1?sinx);(17) (18)lim(ln); (19)lim(x?1?x)x; (20)lim(ntan)。

?x?0x???x?0?n???xn知识点:洛必达法则。

思路:注意洛必达法则的适用范围。该法则解决的是未定型的极限问题,基本形式为:

1x100型与

?型未定?式,对于这种形式可连续使用洛必达法则;对于???型与0??型的未定式,可通过通分或者取倒数的形式化为基本形式;对于0型、1型与?型的未定式,可通过取对数等手段化为未定式;此外,还可以结合等价无穷小替换、两个重要的极限、换元等手段使问题简化。

0?0ex?e?xex?e?x?lim?2; 解: (1) limx?0x?0sinxcosx (2) limsinx?sinacosx?lim?cosa;

x?ax?ax?a1cosxlnsinxsinx?limcosx?lim?sinx??1;

(3)lim?lim2ππππ88x?(π?2x)x?4(2x?π)x?4(2x?π)x?222211?ln(1?)1?x2x(x?1)x?lim?lim?1; (4)limx???arccotxx???x???x(x?1)1?1?x27sec27xlntan7x7cos22x?tan2xtan7x?lim?lim?1; (5)limx??0lntan2xx??02sec22xx??0tan7x?2cos27xtan2xx3?1?lnx(6)lim?limx?1x?1ex?e3x2?1x?4;

eextanx?xsec2x?12tanxsec2x2?lim?lim?lim?2; (7) limx?0x?sinxx?01?cosxx?0x?0cos3xsinx(8)limx?0xcot2x?limx11; ?lim?x?0tan2xx?02sec22x2111(9) limx?0x2ex22x21?e23ex2?lim?limx?limex???; x?01x?0x?02?3x2x1u?1x2(或解为:limxx?02x2eeueu?lim?lim???) u???uu???11x11?2ex11(e?1)?limx?limex?1; (10)limx(ex?1)?limx??x??x??x??11?2xx1(或解为:∵当x??时,e?1~x1xe1/x?11/x?lim?1) ,∴limx(e?1)?limx??x??1/xx??1/x1x