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专题

1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在

量词

1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义。 2.理解全称量词和存在量词的意义。 3.能正确地对含一个量词的命题进行否定。

知识点一 简单的逻辑联结词 1．简单的逻辑联结词

(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词． (2)命题p且q、p或q、非p的真假判断

p 真 真 假 假 知识点二 全称量词和存在量词 2.全称量词和存在量词

(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“?”表示． (2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“?”表示． 知识点三 全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定 3．全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定

命题名称 全称命题 x，有p(x)成立 存在M中的一个特称命题 x0，使p(x0)成立

?x0∈M，p(x0) ?x∈M，┐p(x) 语言表示 对M中任意一个?x∈M，p(x) ?x0∈M，┐p(x0) 符号表示 命题的否定 q 真 假 真 假 p且q 真 假 假 假 p或q 真 真 真 假 非p 假 假 真 真 考点一 含有逻辑联结词的命题的真假判断

【典例1】 (2019·河北石家庄一中模拟) 设a，b，c是非零向量.已知命题p: 若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中真命题是( )

A.p∨q

B.p∧q

D.p∧(┐q)

C.(┐p)∧(┐q) 【答案】B

【解析】取a＝c＝(1，0)，b＝(0，1)，显然a·b＝0，b·c＝0，但a·c＝1≠0，∴p是假命题. 又a，b，c是非零向量，

由a∥b知a＝xb(x∈R)，由b∥c知b＝yc(y∈R)， ∴a＝xyc，∴a∥c，∴q是真命题. 综上知p∨q是真命题，p∧q是假命题. ┐p为真命题，┐q为假命题. ∴(┐p)∧(┐q)，p∧(┐q)都是假命题. 【规律方法】

1.“p∨q”、“p∧q”、“┐p”形式命题真假的判断关键是对逻辑联结词“或”“且”“非”含义的理解，其操作步骤是：(1)明确其构成形式；(2)判断其中命题p，q的真假；(3)确定“p∨q”“p∧q”“┐p”形式命题的真假.

2.p∧q形式是“一假必假，全真才真”，p∨q形式是“一真必真，全假才假”，┐p则是“与p的真假相反”. 【变式1】 (2017·山东卷)已知命题p：?x∈R，x2－x＋1≥0；命题q：若a2

A.p∧q C.┐p∧q 【答案】B

【解析】∵一元二次方程x2－x＋1＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×1×1<0，∴x2－x＋1>0恒成立， ∴p是真命题，┐p为假命题.

∵当a＝－1，b＝－2时，(－1)2<(－2)2，但－1>－2， ∴q为假命题，┐q为真命题.

∴p∧┐q为真命题，p∧q，┐p∧q，┐p∧┐q为假命题. 考点二 全称(特称)命题的真假判断

【典例2】 (2019·江西师大附中月考)已知定义域为R的函数f(x)不是偶函数，则下列命题一定为真命

B.p∧┐q

D.┐p∧┐q

题的是( )

A.?x∈R，f(－x)≠f(x) B.?x∈R，f(－x)≠－f(x) C.?x0∈R，f(－x0)≠f(x0) D.?x0∈R，f(－x0)≠－f(x0) 【答案】C

【解析】∵定义域为R的函数f(x)不是偶函数，∴?x∈R，f(－x)＝f(x)为假命题，∴?x0∈R，f(－x0)≠f(x0)为真命题.

【规律方法】

1.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论.

2.判定全称命题“?x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内至少找到一个x＝x0，使p(x0)成立.

π0，?，【变式2】 (2019·山东潍坊一中模拟)已知命题p：?x0∈(－∞，0)，2x0<3x0；命题q：?x∈??2?sin x

A.p∧q

B.p∧(┐q)

D.(┐p)∧(┐q)

C.(┐p)∧q 【答案】C

2??0，π?xx

【解析】因为当x<0时，?>1，即2>3，所以命题p为假命题，从而┐p为真命题；因为当x∈?3??2?时，x>sin x，所以命题q为真命题，所以(┐p)∧q为真命题.

考点三 由命题的真假求参数的取值范围

【典例3】 (2019·湖南长沙一中模拟)已知命题p：?x∈R，log2(x2＋x＋a)>0恒成立，命题q：?x0∈[－2，2]，2a≤2x0，若命题p∧q为真命题，则实数a的取值范围为________.

5?【答案】??4，2?

【解析】由题知，命题p：?x∈R，log2(x2＋x＋a)>0恒成立，即x2＋x＋a－1>0恒成立，所以Δ＝1－4(a5??a>，5

－1)<0，解得a>；命题q：?x0∈[－2，2]，使得2a≤2x0，则a≤2.当p∧q为真命题时，须满足?4故实数

4

??a≤2，

x