内容发布更新时间 : 2024/5/9 10:08:25星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

系统辨识与参数估计大作业

第一题 递推最小二乘估计参数

?v(k) 1?1?21?1.5z?0.7z u(k) 1.0z?0.5z?1?21?1.5z?0.7z?1?2z(k)

考虑如上图所示的仿真对象，选择模型结构为：

z(k)?a1z(k?1)?a2z(k?2)?b1u(k?1)?b2u(k?2)?v(k)

，其中v(k)是服从N(0,1)正态分布的不相关随机噪声；输入信号u(k)采用4阶逆M序列，特征多项式取F(s)?1?s?s4，幅度为1，循环周期为Np?62bit；控制?值，使数据的噪信比分别为10％，73％，100％三种情况。加权因子?(k)?1；数据长度L=500;初始

?(0)?0.001， 条件取P(0)?106I,θ（1） 利用递推最小二乘算法在线估计参数，

（2） 利用模型阶次辨识方法（AIC准则），确定模型的阶次。 （3） 估计噪声v(k)的方差和模型静态增益K （4） 作出参数估计值随时间的变化图 答：

设过程的输入输出关系可以描述成z(k)?h(k)??n(k)

Tz(k)是输出量，h(k)是可观测的数据向量，n(k)是均值为0的随机噪声

h(k)???z(k?1),?z(k?2),u(k?1),u(k?2)?

T???a1,a2,b1,b2?

选取的模型为结构是

Tz(k)??a1z(k?1)?a2z(k?2)?bu1(k?1)?bu2(k?2) a1??1.5,a2?0.7,b1?1.0,b2?0.5

加权最小二乘参数估计递推算法RWLS的公式如下，

?1?1?K(k)?p(k?1)h(k)?hT(k)p(k?1)h(k)??(k)????(k)??(k?1)?K(k)?z(k)?hT(k)?(k?1)???Tp(k)??I?K(k)h(k)???p(k?1)

为了把p(k)的对称性，可以把p(k)写成

?1?p(k)?p(k?1)?K(k)KT(k)?hT(k)p(k?1)h(k)??

?(k)??如果把?(k)设成1的时候，加权最小二乘法就退化成最小二乘法。 用AIC准则定阶法来定阶，所用公式

Zn?Hn?n?Vn

Zn??z(1),z(2),z(3),...,z(L)?

T?n????a1,?a2,...?an,b1,b2,...bn??

aTz(?1)?z(0)?z(1)z(0)Hn???......??z(L?1)z(L?2)...z(1?n)u(0)u(?1)...z(2?n)u(1)u(0)...............z(L?n)u(L?1)u(L?2)...u(1?n)?...u(2?n)?.? ?......?...u(L?n)?2其中模型参数?n和 噪声V(k)方差的极大似然估计值为?ML ，?v

?ML?(HnTHn)?1HnTZn 1T??(Zn?Hn?ML)(Zn?Hn?ML)L2vAIC 的定阶公式写成

AIC(n)?Llog?v?4n

取n?1,2,3,4;分别计算AIC(n)，找到使AIC(n)最小的那个n作为模型的阶次。一般说来，

2这样得到的模型阶次都能比较接近实际过程的真实阶次。 信噪比为10%时：

参数 a1 a2 b1 b2 噪声方差 静态增益

真值 -1.5 0.7 1 0.5 1 估计值

-1.519

0.72259

1.0314

0.50923

1.0951

7.5661

信噪比为73%时：

参数 a1 a2 b1 b2 噪声方差 静态增益

真值 -1.5 0.7 1 0.5 1 估计值

-1.519

0.72259

1.0314

0.50923

1.0951

7.5661

模型阶次

2

模型阶次

2