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第5节 二次函数的综合应用

命题点1 二次函数综合题(10年12考，仅2010～2012年未考)

1. (2013重庆A卷25题12分)如图，对称轴为直线x＝－1的抛物线y＝ax＋bx＋c(a≠0)与x轴相交于A、B两点，其中点A的坐标为(－3，0)． (1)求点B的坐标；

(2)已知a＝1，C为抛物线与y轴的交点．

①若点P在抛物线上，且S△POC＝4S△BOC.求点P的坐标；

②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．

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第1题图

2. (2008重庆28题10分)已知：如图，抛物线y＝ax－2ax＋c(a≠0)与y轴交于点C(0，4)，与x轴交于点A、B，点A的坐标为(4，0)． (1)求该抛物线的解析式；

(2)点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ，当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标；

(3)若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为(2，0)．问：是否存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

2

第2题图

3. (2014重庆B卷25题12分)如图，已知抛物线y＝－x＋2x＋3与x轴交于A、B两点(点

2

A在点B的左边)，与y轴交于点C，连接BC.

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(1)求A、B、C三点的坐标；

(2)若点P为线段BC上的一点(不与B、C重合)，PM∥y轴，且PM交抛物线于点M，交x轴于点N，当△BCM的面积最大时，求△BPN的周长；

(3)在(2)的条件下，当△BCM的面积最大时，在抛物线的对称轴上存在点Q，使得△CNQ为直角三角形，求点Q的坐标．

第3题图

4. (2014重庆A卷25题12分)如图，抛物线y＝－x－2x＋3的图象与x轴交于A、B两点(点

2

A在点B的左边)，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．

(1)求点A、B、C的坐标；

(2)点M为线段．．AB上一点(点M不与点A、B重合)，过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点

E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N，若点P在点Q左边，当矩形PMNQ的周长最大时，求△AEM的面积；

(3)在(2)的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ，过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G(点G在点F的上方)．若FG＝22DQ，求点F的坐标．

第4题图

5. (2015重庆B卷26题12分)如图，抛物线y＝－x＋2x＋3与x轴交于A，B两点(点A 在点B的左边)，与y轴交于点C.点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴相交于点E.

(1)求直线AD的解析式；

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(2)如图①，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于点G，作FH平行于x轴交直线AD于点H，求△FGH周长的最大值；

(3)点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是以AM为边的矩形，若点T和点Q关于AM所在直线对称，求点T的坐标．

第5题图

拓展训练

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如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x－x－2分别与x轴交于A，B两点，与y23轴交于C点，直线EF垂直平分线段BC，分别交BC于点E，y轴于点F，交x轴于D. (1)判定△ABC的形状；

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