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滕州二中新校 高二数学(理) 编写:陈 博 校审：skycn

概率的知识归纳与题型总结

一、概率知识点框架图

概率的基本性质 古典概型 几何概型 用随机模拟法求概率 概率 条件概率 事件的独立性 互斥事件 P(A＋B)＝P(A)＋P(B) 对立事件 P(?A)＝1－P(A) P(B | A)＝P(A ? B) P(A)n次独立重复试验恰好发生k次的概率为 k－Pn(k)＝Cn pk(1－p)nk X～B(1，p) E(X)＝p，D(X)＝p(1－p) X～B(n，p) E(X)＝np，D(X)＝np(1－p) P(A ? B)＝P(A)·P(B) 两点分布 随机变量

二、考试内容分析

常用的分布及期望、方差 二项分布 若Y＝aX＋b，则 E(Y)＝aE(X)＋b D(Y)＝a2D(X) 超几何分布 正态分布 概率重点考查的内容是利用等可能性事件、互斥事件和相互独立事件等概率的计算求某些简单的离散型随机变量的分布列、期望与方差，及根据分布列求事件的概率；。

应用概率知识要解决的题型主要是应用随机变量的概念，特别是离散型随机变量分布列及期望与方差的基础知识，讨论随机变量的取值范围，取相应值得概率及期望、方差的求解计算；

三、题型分类、

考点1 考查等可能事件概率计算 ．．．

在一次实验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等。如果事件那么P(A)A包含的结果有m个，

?m。这就是等可能事件的判断方法及其概率的计算公式。求解等可能性事件的概率时，先确定本n事件包含的有利事件数和本试验的基本事件总数，然后代入概率公式即可. 常借助不同背景的材料考查等可能事件概率的计算方法以及分析和解决实际问题的能力。

例1：(北京市东城区2009年3月高中示范校高三质量检测理) 第 1 页

滕州二中新校 高二数学(理) 编写:陈 博 校审：skycn

某次演唱比赛，需要加试综合素质测试，每位参赛选手需回答三个问题，组委会为每位选手都备有10道不同的题目可供选择，其中有6道艺术类题目，2道文学类题目，2道体育类题目。测试时，每位选手从给定的10道题中不放回地随机抽取三次，每次抽取一道题，回答完该题后，再抽取下一道题目作答． （I）求某选手在三次抽取中，只有第一次抽到的是艺术类题目的概率；（P（II）求某选手抽到体育类题目数?的分布列和数学期望E?. （E??1） 10?3） 5111解：（1）从10道不同的题目中不放回的随机抽取三次，每次只抽取1道题，抽法总数为C10C9C8，只有第一次抽到艺术类题目的抽法总数为C6C4C3

111C6CC1?P?14131?…………………………………………………………………（4分）

C10C9C810111（2）抽到体育类题目数的可能取值为0，1，2

111C8CC7则P(??0)?17161?

C10C9C8151111C3CCC7P(??1)?121817?

C10C9C815111C8CC1P(??2)?13121?……………………………………………………………（8分）

C10C9C815所以?的分布列为：……………………………………………………………………（10分）

? P 0 1 2 771 1515157713?1??2??…………………………………………（12分） 从而有E??0?1515155

练习：A、B两点之间有6条网线并联，他们能通过的信息量分别为1，1，2，2，3，3。先从中任取三条网线，设可通过的信息量为?，当可通过的信息量??6时，则保证信息畅通。

（1）求线路信息畅通的概率；（P?0.7） （2）求线路可通过信息量的数学期望.(E??6)

分析：解答本题首先要明确可通过的信息量?是一个随机变量，它的可能取值为4、5、6、7、8；保证信息畅通 第 2 页

滕州二中新校 高二数学(理) 编写:陈 博 校审：skycn 的条件是??6，而信息量取值为

6、7、8这三件事是互斥的。其次要求学生能正确运用互斥事件的概率加法

公式和离散型随机变量的期望定义解答本题。

解：（1）?P(??8)?C?C3C612221212C?C?C?C222221? ? ，P(??7)?310C610111C2?C2?C274 ?P(??6)?P(??6)?P(??7)?P(??8)? P(??6)??31010C6?信息畅通的概率为

7。 10121212C2?C2?C2?C2C2?C221（2）又?P(??5)? ， ?P(??4)??331010C6C6?E??8?12421?7??6??5??4??6 1010101010?可通过信息量的数学期望为6。

评述：本题是一道概率计算的综合应用题，试题以信息时代的网络畅通为题设背景，富有时代气息。解答时应具备适度的逻辑思维能力，体现了以素质和能力为考核重点地试题设计理念。

考点2 互斥事件有一个发生的概率

不可能同时发生的两个事件．．．．式P(A?B)?A、B叫做互斥事件，它们至少有一个发生的事件为A?B，用概率的加法公

P(A)?P(B)计算。事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，则．．．．

的事件为A?B。用概率的法公式P?A?B??P?A??P?B?计算。考A、B叫做相互独立事件，它们同时发生．．．．试常结合考试竞赛、工作等问题对这两个事件的识别及其概率的综合计算能力进行考查。 必有一个发生的两个互斥事件A、B叫做互为对立事件。即B．．．．．．难则反”的策略求解.用概率的减法公式P．．．

?A或A?B。至少、至多问题常使用“正．

?A??1?P(A)计算其概率。考试中常结合射击、电路、交通等问

题对对立事件的判断识别及其概率计算进行考查。

例2 某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为

1.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料。 6（Ⅰ）求三位同学都没有中奖的概率；(P?125) 216?25) 27（Ⅱ）求三位同学中至少有两位没有中奖的概率. (P

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