内容发布更新时间 : 2024/5/19 2:28:50星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
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有关抛物线焦点弦问题的探讨
过抛物线y?2px(p>0)的焦点F作一条直线L和此抛物线相交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点
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结论1：AB?x1?x2?p
pp)?(x2?)?x1?x2?p 222p结论2：若直线L的倾斜角为?，则弦长AB? 2sin?AB?AF?BF?(x1?证: (1)若??(2)若???2 时,直线L的斜率不存在，此时AB为抛物线的通径,?AB?2p?结论得证
?2时,设直线L的方程为：y?(x?pp)tan?即x?y?cot?? 代入抛物线方程得22y2?2py?cot??p2?0由韦达定理y1y2??p2,y1?y2?2pcot?
由弦长公式得AB?1?cot2?y1?y2?2p(1?cot2?)?2p 2sin?结论3： 过焦点的弦中通径长最小
?sin2??1?2p?2p ?AB的最小值为2p,即过焦点的弦长中通径长最短.
sin2?S2?oABp3结论4： ?(为定值)
AB8. .下载可编辑 . .
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11OF?BF?sin??OF?AF?sin?22111p2pp2?sin?? ?OF??AF?BF?sin??OF?AB?sin????
2222sin2?2sin?2S?P3OAB??AB8S?OAB?S?OBF?S?0AF?2p2结论5： (1) y1y2??p (2) x1x2=
4y1y2(y1y2)2P2证?x1? ,x2?,?x1x2??2p2p44P222结论6：以AB为直径的圆与抛物线的准线相切
证：设M为AB的中点，过A点作准线的垂线AA1， 过B点作准线的垂线BB1， 过M点作准线的垂线MM1，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知 MM1?AA1?BB12?AF?BF2?AB2 故结论得证
结论7：连接A1F、B1 F 则 A1F?B1F
?AA1?AF,??AA1F??AFA1?AA1//OF??AA1F??A1FO??A1FO??A1FA
同理?B1FO??B1FB??A1FB1?90? ?A1F?B1 F 结论8：（1）AM1?BM1 （2）M1F?AB （3）M1F2?AF?BF
（4）设AM1 与A1F相交于H ，M1B与 FB1相交于Q 则M1，Q，F ，H四点共圆 （5）AM12?M1B?4M1M
22证：由结论（6）知M1 在以AB为直径的圆上? AM1?BM1
??A1FB1为直角三角形， M1 是斜边A1 B1 的中点
?A1M1?M1F??M1FA1??M1A1F??AA1F??AFA1??AA1F??FA1M1??AA1M1?90? ??AFA1??A1FM1?90?
?M1F?AB
?M1F?AF?BF ? AM1?BM1 ??AM1B?90?又?A1F?B1F
??A1FB1?90? 所以M1，Q，F,H四点共圆，AM1 ?AF?BF22?M1B?AB
222????AA21?BB1???2MM1??4MM1
22结论9： （1）A、O、B1 三点共线 （2）B，O，A1 三点共线
（3）设直线AO与抛物线的准线的交点为B1，则BB1平行于X轴
（4）设直线BO与抛物线的准线的交点为A1，则AA1平行于X轴
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证：因为koA?y1yy2y2p?12?,koB1?2??2，而y1y2??p2
px1y1py1?22p所以koA?2y22p（3）（4） ???koB1所以三点共线。同理可征（2）2p?py2结论10：
112?? FAFBp证：过A点作AR垂直X轴于点R，过B点作BS垂直X轴于点S，设准线与x轴交点为
? E,因为直线L的倾斜角为则ER?EF?FR?P?AFcos??AF?AF?11?cos?P? ? AFP1?cos?同理可得
11?cos?112??? ?BFPFAFBp结论11：
AFAE(1)线段EF平分角?PEQ (2)? (3) KAE?KBE?0
BFBE(4) 当? ??2时 AE?BE , 当? ??2时 AE不垂直于BE 证:?BB1//EF//AA1?B1EEA1?BFFA?BF?B1B,FA?A1A?B1EEA1?B1BA1A
??AA1E??BB1E?90???A1EA相似于?B1EB ??A1EA＝?B1EB
??AEF＋?A1EA＝?BEF＋?B1EB＝90???AEF＝?BEF即EF平分角?PEQ
?AFBF?AEBE ?直线AE和直线BE关于X轴对称?KAE＋KBE＝0
(4)当? ? 当???2时，AF＝EF＝FB ??AEB＝90?
??p?时，设直线L的方程为y?k?x-? 将其代入方程y2?2px 2?2?22k2p2pk2?2 得kx-p(k?2)x??0 设A(x1,y1),B(x2,y2) 则x1?x2? 24k2??p21 ?x1x2= 假设AE?BE则 KAE?KBE＝－4. .下载可编辑 . .
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