内容发布更新时间 : 2025/2/24 4:43:38星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
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3.1 独立性检验
1．2×2列联表的定义
对于两个研究对象Ⅰ和Ⅱ，Ⅰ有两类取值，即类A和类B；Ⅱ也有两类取值，即类1和类2.这些取值可用下面的2×2列联表表示.
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.χ统计量的求法
n（ad－bc）
公式χ＝．
（a＋c）（b＋d）（a＋b）（c＋d）
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3．独立性检验的概念
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用统计量χ研究两变量是否有关的方法称为独立性检验． 4．独立性检验的步骤
要判断“Ⅰ与Ⅱ有关系”，可按下面的步骤进行： (1)提出假设H0：Ⅰ与Ⅱ没有关系；
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(2)根据2×2列联表及χ公式，计算χ的值； (3)查对临界值，作出判断． 其中临界值如表所示：
P(χ≥x0) χ0 20.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 10.828 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 2 表示在H0成立的情况下，事件“χ≥x0”发生的概率． 5．变量独立性判断的依据
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(1)如果χ>10.828时，那么有99.9%的把握认为“Ⅰ与Ⅱ有关系”；
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(2)如果χ>6.635时，那么有99%的把握认为“Ⅰ与Ⅱ有关系”；
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(3)如果χ>2.706时，那么有90%的把握认为“Ⅰ与Ⅱ有关系”；
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(4)如果χ≤2.706时，那么就认为没有充分的证据显示“Ⅰ与Ⅱ有关系”，但也不能作出结论“H0成立”，即Ⅰ与Ⅱ没有关系．
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1．在2×2列联表中，通常要求a，b，c，d的值均不小于5.
2．表中|ad－bc|越小，Ⅰ与Ⅱ关系越弱；|ad－bc|越大，Ⅰ与Ⅱ关系越强．同时要记准表中a，b，c，d四个数据是交叉相乘然后再作差取绝对值，一定不要乘错．
3．表中类A与类B，以及类1与类2的关系：对于对象Ⅰ来说，类A与类B是对立的，也就是说类A发生，类B一定不发生，类A不发生，则类B一定发生；同样对于对象Ⅱ来说，类1与类2的关系也是如此．
[例1] 在一项
有关医疗保健的社会调查中，发现调查的男性为530人，女性为670人，其中男性中喜欢吃甜食的为117人，女性中喜欢吃甜食的为492人，请作出性别与喜欢吃甜食的列联表．
[思路点拨] 在2×2列联表中，共有两类变量，每一类变量都有两个不同的取值，然后找出相应的数据，列表即可．
[精解详析] 作列联表如下： 男 女 合计 喜欢甜食 117 492 609 不喜欢甜食 413 178 591 合计 530 670 1 200
[一点通] 分清类别是列联表的作表关键步骤．表中排成两行两列的数据是调查得来的结果．
1．下面是2×2列联表：
x1 x2 合计 y1 a 2 b y2 21 25 46 合计 73 27
则表中a，b的值分别为________，________．
解析：∵a＋21＝73，∴a＝52.又∵a＋2＝b，∴b＝54. 答案：52 54
2．某学校对高三学生作一项调查后发现：在平时的模拟考试中，性格内向的426名学生中有332名在考前心情紧张，性格外向的594名学生中在考前心情紧张的有213人 .作出2×2列联表．
解：作列联表如下：
考前心情紧张 考前心情不紧张 合计
性格内向 332 94 426 性格外向 213 381 594 合计 545 475 1 020 精品
[例2] 下表是
某地区的一种传染病与饮用水的调查表：
干净水 不干净水 合计 得病 52 94 146 不得病 466 218 684 合计 518 312 830
(1)这种传染病是否与饮用水的卫生程度有关，请说明理由；
(2)若饮用干净水得病5人，不得病50人，饮用不干净水得病9人，不得病22人．按此样本数据分析这种疾病是否与饮用水有关，并比较两种样本在反映总体时的差异．
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[思路点拨] (1)根据表中的信息计算χ的值，并根据临界值表来分析相关性的大小，对于(2)要列出2×2列联表，方法同(1)．
[精解详析] (1)假设H0：传染病与饮用水无关．把表中数据代入公式，得
830×（52×218－466×94）χ＝≈54.21，
146×684×518×312
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因为当H0成立时，χ≥10.828的概率约为0.001，
所以我们有99.9%的把握认为该地区这种传染病与饮用不干净水有关． (2)依题意得2×2列联表：
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干净水 不干净水 合计
得病 5 9 14 不得病 50 22 72 合计 55 31 86 86×（5×22－50×9）
此时，χ＝≈5.785.
14×72×55×31
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由于5.785＞2.706，
所以我们有90%的把握认为该种疾病与饮用不干净水有关．
两个样本都能统计得到传染病与饮用不干净水有关这一相同结论，但(1)中我们有99.9%的把握肯定结论的正确性，(2)中我们只有90%的把握肯定．
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[一点通] 解决独立性检验问题的基本步骤是：①指出相关数据，作列联表；②求χ的值；③判断可能性，注意与临界值作比较，得出事件有关的可能性大小．
3．某保健药品，在广告中宣传：“在服用该药品的105人中有100人未患A疾病”．经调查发现，在不使用该药品的418人中仅有18人患A疾病，请用所学知识分析该药品对患A疾病是否有效？
解：依题意得2×2的列联表： 使用 不使用 合计 患病 5 18 23 不患病 100 400 500 合计 105 418 523
要判断该药品对患A疾病是否有效，即进行独立性检验提出假设H0：该药品对患A疾病没有效． 根据列联表中的数据可以求得