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高中数学学习材料

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湖北省部分重点中学2016届高三第二次联考

高三数学（理）试卷答案

1. C 2. D 3. A 4. A 5． A 6C 7. C 8． C 9. B 10. B 11. D． 12. B （提示：令y?0,求b的范围是?0,1?，

再令y??x，并结合选项求a的取值范围13.．?15. 7. 16.. -1

17. 如图：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=BC=AC=2，AC⊥BC．（1）求多面体ABC﹣A1C1的体积；（2）异面直线A1B与AC1所成角的大小．

解：（1）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=BC=AC=2，AC⊥BC，∴CC1⊥平面ABC，BC⊥平面AA1C1，∵S△ABC=

=

的体积： V=

=

=．-------6分

（2）以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，

则A1（2，0，2），B（0，2，0），A（2，0，0），C1（0，0，2），

=（﹣2，2，﹣2），

=（﹣2，0，2），设异面直线A1B与AC1所成角

，

＞|=|

|=0，

+

=

=

=

，

=2， CC1=2，BC=2，∴多面体ABC﹣A1C1

1014. 20

2

的大小为θ，则cosθ=|cos＜

∴异面直线A1B与AC1所成角的大小为．--------12分

说明：四棱锥求体积，补形求角可参照给分

18.武汉地铁4号线每6分钟一趟列车，小明同学每天早晚两次乘地铁上学与回家,每周周一至周五上五天学，如果某天至少有一次等车时间不超过2分钟。则称该天为“风顺”天 （1） 求小明某天恰有一次等车时间不超过2分钟的概率

（2） 记X为小明一周中“风顺”天的天数，求X的数学期望。

244?? 669 -------5份425（2）小明某天至少有一次等车时间不超过2分钟的概率p?1?()?

69552525XXB(5,)，E(X)?5??的数学期望为 ，故

9999 ---------7分

解：（1）小明某天恰有一次等车时间不超过2分钟的概率p?C21

19.已知如图所示是函数f(x)?2sin(?x??)（??0）的图象 （1） 求f(x)的表达式

（2） 已知函数y?f(x)?a在区间?0,

???

上有两个零点?2??

x1,x2，求x1?x2的取值范围。

1?11?)?0并结合图像得解：（1）由f(0)?1得sin??，根据图像知???2k?,k?Z,又因为f(261211???2?24k32?11?2?11???2k?,k?Z,???????，，且 12611114?12?121824?????，???2，故f(x)?2sin(2x?)11116-------------6分

x1?x22?2)?易知2x1??2x2???，x1?x2?，?0?x1?x2?(（3） 663236

??2?股x1?x2的取值范围是?0,?的取值范围 --------12分

?36?20.已知动点P(x,y)与定点F(1,0)满足条件：以PF为直径的圆恒与纵轴相切。 （1） 求动点P的轨迹C的方程

（2） 设A,B是轨迹C上的两点，已知点M(?1,m)满足MA?MB，求?MAB的面积的最小值

???2(x?1)2?y2x?1y?4x解：（1）依题意：|，化简得动点P的轨迹C的方程-----5分 |?即为222yy2?4?y?4b?0（2）设直线AB的方程为x??y?b，与y?4x联立消去得：

22设A(x1,y1),B(x2,y2)，则y1?y2?4?,y1y2??4，b由MA?MB得(b?1)?(2??m)?0，

m2|?2?|m112?b?1,??，所以?MAB的面积S?|AB||d|?(x1?x2?2)? 222m21?4311m222?(1?)|(y1?m)(y2?m)|=(4?m)?4，故求?MAB的面积的最小值为4--------12分

22421.设a?b，把函数y?h(x)的图像与直线x?a和x?b、y?0所围成的面积与b?a的比值称为函数y?h(x)在区间(a,b)上的“面积密度”

(1)设f(x)?xlnx?x，曲线y?f(x)与直线y?x?b相切，求b的值；

（2）设0?a?b，求u的值（用a,b表示）使得函数g(x)?|lnx?lnu|在区间(a,b)上的“面积密度”取

得最小值；

（3）记（2）中的最小值为?(a,b)，求证：?(a,b)?ln2

解（1）f'(x)?lnx，设切点为(x0,y0)，则lnx0?1，x0?e，从而y0?0，把点(x0,y0)代入y?x?b得

b??e----------3分

g(x)?|lnx?lnu|在区间(a,b)上的“面积密度”取得最小值， 使得函数（2）易知：要

必须a?u?b，故函数g(x)?|lnx?lnu|在区间(a,b)上的“面积密度”

h(u)?1b1u1b|lnx?lnu|dxh?(lnu?lnx)dx?(lnx?lnu)dx ???aaub?ab?ab?a2ub?ablnb?alnab?a2b?a??lnu??h'(u)???0, b?ab?ab?ab?a，令b?a(b?a)ua?ba?b,即当u?,时，函数g(x)?|lnx?lnu|在区间(a,b)上的“面积密度最小，最小值为22得u?blnb?alna?(b?a)lnb?ab?a2-----------7分

（3） 设F(x)?xlnx?alna?(x?a)ln则F'(x)?lnx?a?(x?a)ln2，(x?a) 2x?0，所以F(x)在?a,???上是减函数，当b?a?0时F(b)?F(a)?0 x?ab?a?(b?a)ln2 2所以blnb?alna?(b?a)lnblnb?alna?(b?a)ln故?(a,b)?b?ab?a2?ln2

------------12分

22.(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲

如图，四边形ABDC内接于圆，BD=CD，过C点的圆的切线与AB的延长线交于E点． （I）求证：∠EAC=2∠DCE；（Ⅱ）若BD⊥AB，BC=BE，AE=2，求AB的长． 解答： （Ⅰ）证明：因为BD=CD，所以∠BCD=∠CBD．

因为CE是圆的切线，所以∠ECD=∠CBD．所以∠ECD=∠BCD，所以∠BCE=2∠ECD． 因为∠EAC=∠BCE，所以∠EAC=2∠ECD．…（5分） （Ⅱ）解：因为BD⊥AB，所以AC⊥CD，AC=AB．

因为BC=BE，所以∠BEC=∠BCE=∠EAC，所以AC=EC．由切割线定理得EC=AE?BE，即AB=AE?（ AE﹣AB），即AB+2 AB﹣4=0，解得AB=

2

2

2

﹣1．…（10分）

23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，已知圆C的圆心C（（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；

，

），半径r=

．