内容发布更新时间 : 2024/5/18 11:05:22星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

基本不等式专题辅导

一、知识点总结

1、基本不等式原始形式

a2?b2（1）若a,b?R，则a?b?2ab （2）若a,b?R，则ab?

2222、基本不等式一般形式（均值不等式） 若a,b?R*，则a?b?2ab 3、基本不等式的两个重要变形

a?b*a?b? （1）若a,b?R，则?ab （2）若a,b?R，则ab????2?2?总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值； 特别说明：以上不等式中，当且仅当a?b时取“=” 4、求最值的条件：“一正，二定，三相等” 5、常用结论

*21?2 (当且仅当x?1时取“=”） x1（2）若x?0，则x???2 (当且仅当x??1时取“=”）

x（1）若x?0，则x?ab（3）若ab?0，则??2 (当且仅当a?b时取“=”）

baa?b2a2?b2（4）若a,b?R，则ab?( )?22a?ba2?b2 ?ab??1122?ab特别说明：以上不等式中，当且仅当a?b时取“=” 6、柯西不等式 （5）若a,b?R，则

*1（1）若a,b,c,d?R，则(a2?b2)(c2?d2)?(ac?bd)2

（2）若a1,a2,a3,b1,b2,b3?R，则有：(a12?a22?a32)(1b12?b22?b32)?(a1b1?a2b2?a3b3)2

（3）设a1,a2,???,an与b1,b2,???,bn是两组实数，则有(a12?a22?????an2)(b12?b22?????bn2)?(a1b1?a2b2?????anbn)2 二、题型分析

题型一：利用基本不等式证明不等式 1、设a,b均为正数，证明不等式:ab≥

211?ab2

2、已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：a3、已知a?b?c?1，求证：a?b?c?222?b2?c2?ab?bc?ca

1 3?4、已知a,b,c?R，且a?b?c?1，求证：(1?a)(1?b)(1?c)?8abc

?1??1??1??已知a,b,c?R，且a?b?c?1，求证：??1???1???1??8

?a??b??c?6、选修4—5：不等式选讲

1a2b2c2设a,b,c均为正数,且a?b?c?1,证明:(Ⅰ)ab?bc?ca?; (Ⅱ)???1.

3bca

33227、选修4—5：不等式选讲： 已知a?b?0，求证:2a?b?2ab?ab

题型二：利用不等式求函数值域 1、求下列函数的值域 （1）y?3x?2111y?x?(x?0)y?x?(x?0) （2） （3） （4）y?x(4?x)2x2xx

题型三：利用不等式求最值 （一）（凑项） 1、已知x?2，求函数y?2x?4?

4的最小值；

2x?44的最小值；

2x?44变式2：已知x?2，求函数y?2x?的最大值；

2x?45练习：1、已知x?，求函数y?4x?2?1的最小值；

44x?5变式1：已知x?2，求函数y?2x?

2、已知x?5，求函数y?4x?2?1的最大值； 44x?5

题型四：利用不等式求最值 （二）（凑系数） 1、当时，求y?x(8?2x)的最大值；

变式1：当时，求y?4x(8?2x)的最大值； 变式2：设0?x?

2、若0?x?2，求y?

3，求函数y?4x(3?2x)的最大值。 2x(6?3x)的最大值；

变式：若0?x?4，求y?x(8?2x)的最大值；

153、求函数y?2x?1?5?2x(?x?)的最大值； （提示：平方，利用基本不等式）

22

311变式：求函数y?4x?3?11?4x(?x?)的最大值；

44题型五：巧用“1”的代换求最值问题

1、已知a,b?0,a?2b?1，求t?法一： 法二：

变式1：已知a,b?0,a?2b?2，求t?变式2：已知x,y?0,11?的最小值； ab11?的最小值； ab28??1，求xy的最小值； xy11变式3：已知x,y?0，且??9，求x?y的最小值。

xy

19??4，求x?y的最小值； xy11?变式5：（1）若x,y?0且2x?y?1，求?的最小值；（2）若a,b,x,y?R且a?b?1，求x?y的最小值；

xyxy变式4：已知x,y?0，且

变式6：已知正项等比数列?an?满足：a7?a6?2a5，若存在两项am,an，使得aman?4a1，求

题型六：分离换元法求最值（了解）

14?的最小值； mnx2?7x?10x2?8(x??1)的值域； 变式：求函数y?(x?1)的值域； 1、求函数y?x?1x?1

2、求函数y?x?2x?1的最大值；（提示：换元法） 变式：求函数y?的最大值；

2x?54x?9ab

题型七：基本不等式的综合应用

1、已知log2a?log2b?1，求3?9的最小值 2、（2009天津）已知a,b?0，求1?1?2ab的最小值；

ab

变式1：（2010四川）如果a?b?0，求关于a,b的表达式a?211?的最小值； aba(a?b)

变式2：（2012湖北武汉诊断）已知，当a?0,a?1时，函数y?loga(x?1)?1的图像恒过定点A，若点A在直线

mx?y?n?0上，求4m?2n的最小值；

3、已知x,y?0，x?2y?2xy?8，求x?2y最小值；

变式1：已知a,b?0，满足ab?a?b?3，求ab范围；

变式2：（2010山东）已知x,y?0，

111??，求xy最大值；（提示：通分或三角换元） 2?x2?y3

22变式3：（2011浙江）已知x,y?0，x?y?xy?1，求xy最大值；

4、（2013年山东（理））设正实数x,y,z满足x2?3xy?4y2?z?0,则当

（提示：代入换元,利用基本不等式以及函数求最值）

xy212取得最大值时,??的最大值为（ 1 ）zxyzy2变式：设x,y,z是正数，满足x?2y?3z?0，求的最小值；

xz

题型八：利用基本不等式求参数范围

1、（2012沈阳检测）已知x,y?0，且(x?y)(?

2、已知x?y?z?0且

1xa)?9恒成立，求正实数a的最小值； y11n???恒成立，如果n?N，求n的最大值；（参考：4） x?yy?zx?z（提示：分离参数，换元法）

变式：已知a,b?0满则

14??2，若a?b?c恒成立，求c的取值范围； ab

题型九：利用柯西不等式求最值 1、二维柯西不等式