内容发布更新时间 : 2024/5/19 17:02:39星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

1． 二重积分

（1）求二重积分的一般步骤为

① 画出积分区域的草图D，并写出积分域；

② 根据积分区域与被积函数的特点选取适当的坐标系.一般地，当二重积分的被积函数f?x,y?中含有x2?y2或y等因子时，以及积分域为以原点为中心的圆域、扇域，或x过原点而中心在坐标轴上的圆域，利用极坐标来计算往往会更加简便；

③根据积分区域与被积函数的特点选取适当的积分次序.二重积分化为二次积分（也称累次积分）后，其本质是进行二次定积分的计算，对先积分的变量求定积分时，后积分的变量应视为一个常数.直角坐标系下定限口诀可归纳为：后积先定限，上限与下限，均应为常限；限内划条线，先交下限写，后交上限见.

（2）注意根据积分区域D的对称性和被积函数的奇偶性简化积分计算. ①如果D关于x轴对称，f(x,y)为y的奇（偶）函数，则

??D?0,?f(x,y)dxdy??2f(x,y)dxdy,????D1f(x,y)为y的奇函数，即f(x,?y)??f(x,y),f(x,y)为y的偶函数，即f(x,?y)?f(x,y),

其中D1为D中x?0的部分.

②如果D关于y轴对称，f(x,y)为y的奇（偶）函数，则

??D?0,?f(x,y)dxdy??2f(x,y)dxdy,????D2f(x,y)为x的奇函数，即f(?x,y)??f(x,y),f(x,y)为x的偶函数，即f(?x,y)?f(x,y),

其中D2为D中y?0的部分.

③如果D关于原点对称，f(x,y)为y的奇（偶）函数，则

??D?0,?f(x,y)dxdy??2f(x,y)dxdy,????D3f(x,y)为x,y的奇函数，即f(?x,?y)??f(x,y),f(x,y)为x,y的偶函数，即f(?x,?y)?f(x,y),其中D3为D中x?0的部分，也可为D中y?0的部分. ④如果D关于直线y?x对称，则

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??f(x,y)dxdy???f(y,x)dxdy.

DD （3）被积函数为分段函数（包括绝对值函数、取极值函数）时，要利用积分区域的可加性，正确划分积分区域，以确定被积函数的表达式.

2．三重积分

（1）计算三重积分注意选择积分顺序问题：“先单后重”与“先重后单”积分法. 回顾化成累次积分的顺序是先对某一个变量，例如z ，做一次单积分，然后再做关于另外两个变量x与y 的一个二重积分，即

???f?x,y,z?dxdydz???dxdy???Dxyz2?x,y?z1x,y?f?x,y,z?dz

其实，上式中的二重积分与单积分的次序是可以交换的，即可把它写成

????f?x,y,z?dxdydz??dz??f?x,y,z?dxdy

c1Dzc2其中Dz是把z暂时固定，过点(0,0,z)且垂直于zz轴的平面截?域所得到的截面域.

对后一个等式我们可以这样来理解，把等式的左端看作是以f(x,y,z) 为密度的物质立体?的质量，右端看作是把物质立体?切成薄片，然后把所有薄片的质量相加.

（2）根据积分域和被积函数的特点选择适当的坐标系.

一般地，下列情形适用柱面坐标求三重积分：积分域?的边界为圆柱面、圆锥面、旋转抛物面或投影域D为圆域，被积函数含有x2?y2的因子.而若积分域?的边界为球面或圆锥面，f?x,y,z???(x2?y2?z2)，则利用球面坐标求三重积比较方便 .但要记住：

① 化为柱面坐标时，要把f?x,y,z?换成f??cos?,?sin?,z?，

dV?dxdydz??d?d?dz；

② 化为球面坐标时，要把f?x,y,z?换成f?rsin?cos?,rsin?sin?,rcos??，

dV?r2sin?drd?d?.

（3）注意利用区域的对称性和被积函数的奇偶性计算三重积分.

设f(x,y,z)在有界闭区域?连续，若?关于xy平面对称（(x,y,z)???(x,y,?z)??），则

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????0,?f(x,y,z)dV??2f(x,y,z)dV,?????1f(x,y,z)为z的奇函数，即f(x,y,?z)??f(x,y,z),f(x,y,z)为z的偶函数，即f(x,y,?z)?f(x,y,z),其中?1??{z|z?0}.

若?关于yz平面（或zx）平面，f(x,y,z)关于x（或y）为奇函数或偶函数有类似的结果.

3. 重积分的应用

（1）几何方面的应用

①求几何体的体积 V?② 曲面的面积

设曲面?的方程为z?f?x,y?,???xoy?D,且存在着连续的fx,fy，则曲面?的面积 S???f(x,y)d?，或V????dv.

D???D1?(fx?)2?(fy?)2dxdy .

2其中曲面?的面积元素dS?1??fx??fy （2）物理方面的应用

①求质量

??dxdy.

210 平面薄片的质量

M????(x,y)d?,

D其中?(x,y)是平面薄片在点(x,y)的面密度. 2 空间非均匀密度物体的质量为

0M?????(x,y,z)dv.?

其中?(x,y,z)是非均匀物体在点(x,y,z)处的密度. ② 求重心

10平面薄片的重心坐标为

x?MyM???x?(x,y)d?D???(x,y)d?D,y?Mx?M??y?(x,y)d?D???(x,y)d?D.

其中?(x,y)是平面薄片在点(x,y)的面密度.

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