内容发布更新时间 : 2026/5/14 16:11:36星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
1．曲线的极坐标方程．
(1)极坐标系：一般地，在平面上取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系．其中，点O称为极点，射线Ox称为极轴．
(2)极坐标(ρ，θ)的含义：设M是平面上任一点，ρ表示OM的长度，θ表示以射线Ox为始边，射线OM为终边所成的角．那么，有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标．显然，每一个有序实数对(ρ，θ)，决定一个点的位置．其中ρ称为点M的极径，θ称为点M的极角．
极坐标系和直角坐标系的最大区别在于：在直角坐标系中，平面上的点与有序数对之间的对应关系是一一对应的，而在极坐标系中，对于给定的有序数对(ρ，θ)，可以确定平面上的一点，但是平面内的一点的极坐标却不是唯一的．
(3)曲线的极坐标方程：一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上的任意一点的极坐标满足方程f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲线C的极坐标方程．
2．直线的极坐标方程．
(1)过极点且与极轴成φ0角的直线方程是θ＝φ0和θ＝π－φ0，如下图所示．
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(2)与极轴垂直且与极轴交于点(a，0)的直线的极坐标方程是ρcos θ＝a，如下图所示．
(3)与极轴平行且在x轴的上方，与x轴的距离为a的直线的极坐标方程为ρsin θ＝a，如下图所示．
3．圆的极坐标方程．
(1)以极点为圆心，半径为r的圆的方程为ρ＝r，如图1所示．
(2)圆心在极轴上且过极点，半径为r的圆的方程为ρ＝2rcos_θ，如图2所示． (3)圆心在过极点且与极轴成如图3所示．
π
的射线上，过极点且半径为r的圆的方程为ρ2rsin_θ，2
4．极坐标与直角坐标的互化．
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若极点在原点且极轴为x轴的正半轴，则平面内任意一点M的极坐标M(ρ，θ)化为平面直角坐标M(x，y)的公式如下：
?x＝ρcos θ，?y22?或者ρ＝x＋y，tan θ＝，
x??y＝ρsin θ
其中要结合点所在的象限确定角θ的值．
1．曲线的参数方程的定义．
在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数，即
?x＝f（t），??并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，?y＝g（t），?
那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x，y之间关系的变数t叫做参变数，简称参数．
2．常见曲线的参数方程．
(1)过定点P(x0，y0)，倾斜角为α的直线：
?x＝x0＋tcos α，?
?(t为参数)， ?y＝y＋tsin α0?
其中参数t是以定点P(x0，y0)为起点，点M(x，y)为终点的有向线段PM的数量，又称为点P与点M间的有向距离．
根据t的几何意义，有以下结论：
①设A，B是直线上任意两点，它们对应的参数分别为tA和tB，则|AB|＝|tB－tA|＝（tB＋tA）－4tA·tB；
tA＋tB②线段AB的中点所对应的参数值等于.
2(2)中心在P(x0，y0)，半径等于r的圆：
?x＝x0＋rcos θ，??(θ为参数) ?y＝y＋rsin θ0?
2(3)中心在原点，焦点在x轴(或y轴)上的椭圆：
?x＝acos θ，?x＝bcos θ，?????(θ为参数)?或??. ??y＝bsin θy＝asin θ????
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??x＝x0＋acos α，
中心在点P(x0，y0)，焦点在平行于x轴的直线上的椭圆的参数方程为?
?y＝y0＋bsin α?
(α为参数)．
(4)中心在原点，焦点在x轴(或y轴)上的双曲线：
??x＝asec θ，?x＝btan θ，???
?(θ为参数)?或??. ?y＝btan θ?y＝asec θ????
(5)顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上的抛物线：
??x＝2p，?(t为参数，p>0)． ?y＝2p?
1注：sec θ＝.
cos θ3．参数方程化为普通方程．
由参数方程化为普通方程就是要消去参数，消参数时常常采用代入消元法、加减消元法、乘除消元法、三角代换法，消参数时要注意参数的取值范围对x，y的限制．
?5π?1．已知点A的极坐标为?4，?，则点A的直角坐标是(2，－23)．
3??
π??2．把点P的直角坐标(6，－2)化为极坐标，结果为?22，－?．
6??3．曲线的极坐标方程ρ＝4sin θ化为直角坐标方程为x＋(y－2)＝4．
π??π??4．以极坐标系中的点?1，?为圆心、1为半径的圆的极坐标方程是ρ＝2cos?θ－?．
6?6???
???x＝t，?x＝3cos θ，
5．在平面直角坐标系xOy中，若直线l：?(t为参数)过椭圆C：?
?y＝t－a?y＝2sin θ??
2
2
(θ为参数)的右顶点，则常数a的值为3．
22
???x＝t，?x＝3cos θ，xy
解析：由直线l：?得y＝x－a.由椭圆C：?得＝＝1.所以椭
?y＝t－a，?y＝2sin θ，94??
圆C的右顶点为(3，0)．因为直线l过椭圆的右顶点，所以0＝3－a，即a＝3.
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一、选择题
1．在平面直角坐标系xOy中，点P的直角坐标为(1，－3)．若以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P的极坐标可以是(C)
π???4π?A.?1，－? B.?2，? 3?3???π?4π???C.?2，－? D.?2，－? 3?3???
???x＝2cos θ，?x＝t＋1，
2．若圆的方程为?(θ为参数)，直线的方程为?(t为参数)，则
?y＝2sin θ?y＝t－1??
直线与圆的位置关系是(B)
A．相离 B．相交 C．相切 D．不能确定
3．以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标
??x＝t＋1，
系中取相同的长度单位，已知直线l的参数方程是?(t为参数)，圆C的极坐标方
?y＝t－3?
程是ρ＝4cos θ，则直线l被圆C截得的弦长为(D)
A.14 B．214 C.2 D．22
解析：由题意可得直线和圆的方程分别为x－y－4＝0，x＋y＝4x，所以圆心C(2，0)，半径r＝2，圆心(2，0)到直线l的距离d＝2，由半径，圆心距，半弦长构成直角三角形，解得弦长为22.
??x＝3cos θ，
4．已知动直线l平分圆C：(x－2)＋(y－1)＝1，则直线l与圆O：?(θ
?y＝3sin θ?
2
2
2
2
为参数)的位置关系是(A)
A．相交 B．相切 C．相离 D．过圆心
解析：动直线l平分圆C：(x－2)＋(y－1)＝1，即圆心(2，1)在直线l上，又圆O：
??x＝3cos θ，2222
?的普通方程为x＋y＝9且2＋1<9，故点(2，1)在圆O内，则直线l与圆O?y＝3sin θ?
2
2
的位置关系是相交．
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