内容发布更新时间 : 2024/10/26 11:20:25星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

（3）如图2，若过P（﹣4，0），Q（0，2）的直线为l，点E在（2）中抛物线C2对称轴右侧部分（含顶点）运动，直线m过点C和点E．问：是否存在直线m，使直线l，m与x轴围成的三角形和直线l，m与y轴围成的三角形相似？若存在，求出直线m的解析式；若不存在，说明理由．

考点： 二次函数综合题；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的增减性． 专题： 压轴题；存在型． 分析： （1）由抛物线的顶点式易得顶点A坐标，把点B的坐标代入抛物线的解析式即可解决问题． 菁优网版权所有（2）根据平移法则求出抛物线C2的解析式，用待定系数法求出直线AB的解析式，再通过解方程组求出抛物线C2与直线AB的交点C、D的坐标，就可以求出S△OAC：S△OAD的值． （3）设直线m与y轴交于点G，直线l，m与x轴围成的三角形和直线l，m与y轴围成的三角形形状、位置随着点G的变化而变化，故需对点G的位置进行讨论，借助于相似三角形的判定与性质、三角函数的增减性等知识求出符合条件的点G的坐标，从而求出相应的直线m的解析式． 2解答： 解：（1）∵抛物线C1：y=a（x+1）﹣2的顶点为A， ∴点A的坐标为（﹣1，﹣2）． 2∵抛物线C1：y=a（x+1）﹣2经过点B（﹣2，﹣1）， 2∴a（﹣2+1）﹣2=﹣1． 解得：a=1． ∴抛物线C1的解析式为：y=（x+1）﹣2． （2）∵抛物线C2是由抛物线C1向下平移2个单位所得， 22∴抛物线C2的解析式为：y=（x+1）﹣2﹣2=（x+1）﹣4． 设直线AB的解析式为y=kx+b． ∵A（﹣1，﹣2），B（﹣2，﹣1）， ∴ 2解得： ∴直线AB的解析式为y=﹣x﹣3． 联立 解得：或． ∴C（﹣3，0），D（0，﹣3）． ∴OC=3，OD=3． 过点A作AE⊥x轴，垂足为E， 过点A作AF⊥y轴，垂足为F， ∵A（﹣1，﹣2）， ∴AF=1，AE=2． ∴S△OAC：S△OAD =（OC?AE）：（OD?AF） =（×3×2）：（×3×1） =2． ∴S△OAC：S△OAD的值为2． （3）设直线m与y轴交于点G，与直线l交于点H， 设点G的坐标为（0，t） 当m∥l时，CG∥PQ． ∴△OCG∽△OPQ． ∴=． ∵P（﹣4，0），Q（0，2）， ∴OP=4，OQ=2， ∴=． ∴OG=． ∴t=时，直线l，m与x轴不能构成三角形． ∵t=0时，直线m与x轴重合， ∴直线l，m与x轴不能构成三角形． ∴t≠0且t≠． ①t＜0时，如图2①所示． ∵∠PHC＞∠PQG，∠PHC＞∠QGH， ∴∠PHC≠∠PQG，∠PHC≠∠QGH． 当∠PHC=∠GHQ时， ∵∠PHC+∠GHQ=180°， ∴∠PHC=∠GHQ=90°． ∵∠POQ=90°， ∴∠HPC=90°﹣∠PQO=∠HGQ． ∴△PHC∽△GHQ． ∵∠QPO=∠OGC， ∴tan∠QPO=tan∠OGC． ∴∴==． ． ∴OG=6． ∴点G的坐标为（0，﹣6） 设直线m的解析式为y=mx+n， ∵点C（﹣3，0），点G（0，﹣6）在直线m上， ∴． 解得：． ∴直线m的解析式为y=﹣2x﹣6， 联立， 解得：或 ∴E（﹣1，﹣4）． 此时点E在顶点，符合条件． ∴直线m的解析式为y=﹣2x﹣6． ②O＜t＜时，如图2②所示， ∵tan∠GCO=tan∠PQO==＜， ==2， ∴tan∠GCO≠tan∠PQO． ∴∠GCO≠∠PQO． ∵∠GCO=∠PCH， ∴∠PCH≠∠PQO． 又∵∠HPC＞∠PQO， ∴△PHC与△GHQ不相似． ∴符合条件的直线m不存在． ③＜t≤2时，如图2③所示． ∵tan∠CGO=tan∠QPO==≥， ==． ∴tan∠CGO≠tan∠QPO． ∴∠CGO≠∠QPO． ∵∠CGO=∠QGH， ∴∠QGH≠∠QPO， 又∵∠HQG＞∠QPO， ∴△PHC与△GHQ不相似． ∴符合条件的直线m不存在． ④t＞2时，如图2④所示． 此时点E在对称轴的右侧． ∵∠PCH＞∠CGO， ∴∠PCH≠∠CGO． 当∠QPC=∠CGO时， ∵∠PHC=∠QHG，∠HPC=∠HGQ， ∴△PCH∽△GQH． ∴符合条件的直线m存在． ∵∠QPO=∠CGO，∠POQ=∠GOC=90°， ∴△POQ∽△GOC． ∴∴=． =． ∴OG=6． ∴点G的坐标为（0，6）． 设直线m的解析式为y=px+q ∵点C（﹣3，0）、点G（0，6）在直线m上， ∴． 解得：． ∴直线m的解析式为y=2x+6． 综上所述：存在直线m，使直线l，m与x轴围成的三角形和直线l，m与y轴围成的三角形相似， 此时直线m的解析式为y=﹣2x﹣6和y=2x+6．