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专练19 带电粒子在复合场中的运动
图1
1．(2014·山东高考信息卷)最近，我国部分地区多发雾霾天气，PM2.5浓度过高，为防控粉尘污染，某同学设计了一种除尘方案，用于清除带电粉尘．模型简化如图1所示，粉尘源从A点向水平虚线上方(竖直平面内)各个方面喷出粉尘微粒，粉尘微粒速度大小均为v＝10 m/s，质量为m＝5×10－10 kg，电荷量为q＝＋1×10－7
C，粉尘源正上方有磁感应强度方向垂直纸面向外且大小为B＝0.1 T的圆形边界匀强磁场，半径R＝0.5 m，磁场右侧紧靠平行金属极板MN、PQ，两板间电压恒为U0＝0.9 V，两板相距d＝1 m，板长l＝1 m，粉尘源每秒向外喷出粉尘微粒的个数为n＝2×108个且粉尘微粒分布均匀地进入极板之间．不计粉尘重力及粉尘之间的相互作用．
(1)证明粉尘微粒从磁场射出时，速度方向均水平向右． (2)求此装置正常工作过程中每秒能收集的粉尘质量M；若两极板间电压在0～15 V之间可调，求收集效率和电压的关系．
解析 (1)粉尘微粒在磁场中运动时，洛伦兹力提供向心力，设轨道半径为r，则
v2
有qvB＝mr
mv
r＝qB＝0.5 m
假设粉尘微粒从B点打出，轨道圆的圆心为O′，由r＝R可知四边形AOBO′为菱形，所以OA∥OB′，BO′一定是竖直的，速度方向与BO′垂直，因此速度方向水平向右
(2)粉尘微粒进入电场做类平抛运动，水平方向有l＝vt
qU
竖直方向有a＝md 1y＝2at2
qUl2y＝2mdv2
当U＝U0＝0.9 V时 解得y＝0.9 m
可知射到极板上的微粒占总数的百分比为
y
η＝d×100%＝90%
此装置每秒能收集的粉尘质量
M＝nm×90%＝2×108×5×10－10×90% kg＝0.09 kg
qUl2
把y≥d代入y＝2mdv2 解得U≥1 V
可知：1 V≤U≤1.5 V时，收集效率η＝100%
0≤U＜1 V时，收集效率
yqUl2
η＝d×100%＝2mv2×100%＝U×100%. 答案 (1)见解析 (2)0.09 kg η＝U×100% 2．(2014·宿州市第三次质量检测)如图2所示，水平放置的两平行金属板A、B长8 cm，两板间距离d＝8 cm，两板间电势差UAB＝300 V，一质量m＝1.0×10－20
kg、电荷量q＝1.0×10－10 C、初速度v0＝2×106 m/s的带正电的粒子，沿A、B板中心线OO′飞入电场，粒子飞出两板间电场后，经PQ上某点进入PQ右侧、OO′下侧的足够大的匀强磁场中，最后垂直OO′射出磁场．已知MN、PQ两界面相距L＝12 cm、D为中心线OO′与PQ界面的交点，不计粒子重力．求：
图2
(1)粒子飞出两板间电场时偏离中心线OO′的距离； (2)粒子经过PQ界面时到D点的距离； (3)匀强磁场的磁感应强度B的大小． 解析 (1)设粒子在电场中的偏移距离为y
qUAB在电场中，由牛顿第二定律得：d＝ma 由类平抛运动的规律得：d＝v0t 1y＝at2 2vy＝at
2
v20＋vy vy
tan θ＝v
0
v＝联立以上各式代入数值得：y＝3 cm
36
v＝2.5×10 m/s，tan θ＝4
(2)设粒子经过PQ界面时到D点的距离为H 由几何知识得：H＝y＋Ltan θ 代入数值得：H＝12 cm
1L＋2dH
(或用：y＝1也可得分)
2d(3)设粒子在磁场中圆周运动的圆心为S，半径为R
H
由图可知：R＝cos θ
mv
由牛顿第二定律得：qvB＝R
2
联立以上各式代入数值得：B＝1.67×10－3 T 答案 见解析 3．(2014·济南高三教学质量调研考试)如图3所示，在x＜0的区域内存在沿y轴负方向的匀强电场，在第一象限倾斜直线OM的下方和第四象限内存在垂直纸面向里的匀强磁场．一带电粒子自电场中的P点沿x轴正方向射出，恰好经过坐标原点O进入匀强磁场，经磁场偏转后垂直于y轴从N点回到电场区域，并恰能
3
返回P点．已知P点坐标为(－L，2L)，带电粒子质量为m，电荷量为q，初速度为v0，不计粒子重力．求：
图3
(1)匀强电场的电场强度大小； (2)N点的坐标；
(3)匀强磁场的磁感应强度大小．
解析 (1)设粒子从P到O时间为t，加速度为a， 312
则L＝v0t，2L＝2at
由牛顿第二定律，可得qE＝ma