内容发布更新时间 : 2024/5/19 22:45:28星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

14.1.1直角三角形三边的关系（2）

课前知识管理

对于勾股定理的探索，可以采用测量、计算、?观察和动手操作的方法来验证其正确性．课本主要运用拼图的方法，利用两种方法表示同一个图形的面积来验证勾股定理．如图1，是由4个完全相同的直角三角形拼成的，得到一个边长为（a+b）的大正方形和以斜边c为边

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长的小正方形，有（a+b）=4×ab+c2，整理可得a2+b2=c2．对于图2，有S正方形EFGH=c2=（b-a）2

12+4×ab，即c2=a2+b2．

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名师导学互动

典例精析：

知识点1：用拼图法验证勾股定理

例1、请判断一下，下列图形中，哪些可以用来验证勾股定理.

【解题思路】①大正方形的面积等于四个直角三角形面积加中间小正方形面积；②中间正方形面积等于大正方形面积减去四个直角三角形面积；③推导不出. 【解】①②可以验证勾股定理.

【方法归纳】勾股定理的验证，主要通过拼接图形的面积来实现. 对应练习：请结合以下图形，验证勾股定理.

知识点2：方程的思想

例2、如图，在△ABC中，AB=15，BC=14， CA=13，求BC边上的高AD．

【解题思路】

【解】设DC=x，则BD=14－x，在Rt△ABD和Rt△ACD中，由勾股定理可得：（14－

x)2+AD2?152,x2?AD2?132，两式相减得：(14?x)2?x2?56，解得：x?5．在

Rt△ACD由勾股定理得：AD=12．

【方法归纳】由于勾股定理反映了直角三角形三边的数量关系，所以在应用勾股定理解决问题时，要考虑应用定理列方程来求解．

对应练习：如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（ ） A 2cm B 3cm C 4cm D 5cm

知识点3：数形结合的数学思想

例3、某市气象台测得一热带风暴中心从A城正西方向300km处，以每小时26km的速度向北偏东60°方向移动，距风暴中心200km的范围内为受影响区域.试问A城是否受这次风暴的影响？如果受影响，请求出遭受风暴影响的时间；如果没有受影响，请说明理由. 【解题思路】

【解】构造数学模型，如图所示，设O为风暴中心，OC为风暴中心移动方向，AD⊥OC.

在Rt△OAD中，∠AOD=30°，OA=300km，所以AD=150km<200km，即A城受到这次风暴的影响.

如图，设AB=AC=200km，在Rt△ABD中，应用勾股定理，得

BD?AB2?AD2?2002?1502?507(km)，所以，A城遭受风暴影响的时间

?2?507?10.2（小时）. 26【方法归纳】勾股定理本身就是数形结合的定理，它的验证和应用，都体现了数形结合的思想．

知识点4：分类讨论的数学思想

例4、在?ABC中，AB?15,AC?20,BC边上的高AD?12,则BC的长为 .

【解题思路】三角形中某边上的高既可在三角形内部，也可在三角形的外部，故此题应分为两种情况来考虑.当BC边上的高AD在?ABC的内部时，如图，由勾股定理，得

BD2?AB2?AD2?152?122?81,得BD?9,CD2?AC2?AD2?202?122?256，

得CD?16,则BC?BD?CD?25；

当BC上的高AD在?ABC的外部时，如图，同样由勾股定理可求得CD?16,BD?9，这时，BC?CD?BD?16?9?7,故BC的长为25或7. 【解】25或7.

【方法归纳】当元素之间的位置关系没有限制时，要对可能的情形分类进行讨论. 对应练习：已知直角三角形的两边长分别为5，12，求第三边的长.

知识点5：整体思想

例5、如图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形.已知大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形的短直角边是a ,较长直角边是b ,则

(a?b)2的值为( )

A. 13 B. 19 C. 25 D. 169

【解题思路】由勾股定理a?b?c可得到两个变形：?a?b??2ab?c和

22222?a?b?2?2ab?c2.通过这两个变形，我们可以从a,b,c,a?b,a?b,ab中任意两个出发，

22求出其他各个量.仔细观察图形，不难得到：c?13，a?b?1，利用?a?b??2ab?c，

可求得2ab?12，故(a?b)=c?2ab=13+12=25.

【解】选C.

【方法归纳】利用整体思想可避免繁琐的运算，达到快速求值的目的. 对应练习：如图，△ABC的周长为32，且AB?AC，AD?BC于D，△ACD的周长为24，那么AD的长为 ．

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知识点6：转化思想

例6、如图，高速公路的同一侧有A、B两个奥运村，它们到高速公路所在的直线MN的垂直距离分别为AA1=2km，BB1=4km，A1B1?8km，要在高速公路上A、B之间设一个出口P，使A、B两个奥运村到P的距离之和最短，则这个最短距离 是 .

BAEMA1PB1NB′

【解题思路】过B作关于MN的对称点B′，连接AB′交A1B1于点P.因PB1垂直平分BB′，所以PB=PB′，则AP+PB=AP+ PB′=AB′，由“两点之间，线段最短”易知，P点为到A、B距离之和最短的点.

【解】过点A作AE垂直于BB′于E，则AE=A1B1=8km，B′E=AA1+BB1=6km，由勾股定理，得AB′=

AE2?B?E2=10km，即AP+PB=AP+ PB′=AB′=10km，故最短出口P到A、B两个

奥运村距离和为10km.

【方法归纳】本题可转化为“在直线l同侧有两点A、B，试在l上找一点P，使PA+PB最小，利用对称作图即可.

对应练习：为了向建国六十周年献礼，某校各班都在开展丰富多彩的庆祝活动，八年级（3）班开展了手工制作竞赛，每个同学都在规定时间内完成一件手工作品．陈莉同学在制作手工作品的第一、二个步骤是：①先裁下了一张长BC?20cm，宽AB?16cm的矩形纸片ABCD，②将纸片沿着直线AE折叠，点D恰好落在BC边上的F处，…… 请你根据①②步

骤解答下列问题：

（1）找出图中∠FEC的余角；（2）计算EC的长.

知识点7：化立体为平面

例7、有一根70 cm的木棒，要放在长、宽、高分别是50 cm、40 cm、30 cm的木箱中，能放进去吗？

【解题思路】在实际生活中，往往工程设计方案比较多，应用所学的知识进行计算方可解决，而此题正是需要我们大胆实践和创新，用我们学过的勾股定理和丰富的空间想像力来解决.我们可注意到木棒虽比木箱的各边都长，按各边的大小放不进去，但木箱是立体图形，可以利用空间的最长长度.如AC′. 【解】由下图可得，AA′=30 cm，A′B′=50 cm，B′C′=40 cm.△A′B′C′，△AA′C′都为直角三角形.由勾股定理，得A′C′2=A′B′2+B′C′2.在Rt△AA′C′中.AC′最长，则AC′2=AA′2+A′B′2+B′C′2=302+402+502=5000＞702. 故70 cm的棒能放入长、宽、高分别为50 cm，40 cm，30 cm的大箱中.

【方法归纳】本题源于生活实际，较有趣味性，能够较好地增强学生的应用意识和实践能力，同时还考查了空间观念. 求解立体几何图形的一些问题时，通常是通过平面展开图，将其转化为平面图形的问题，然后求解.

对应练习：制一个底面周长为a、高为b的圆柱形花架，需用沿圆柱侧面绕织一周的竹条若干根，如图中的A1C2B1，A2C1B2…则每一根这样的竹条的长度最少是_________.

易错警示

1、注意勾股定理的使用前提是直角三角形