内容发布更新时间 : 2024/11/10 6:45:55星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

几何画板迭代详解之：函数迭代

佛山市南海区石门中学 谢辅炬

【多项式f(x)?ax4?bx3?cx2?dx?e求根】 【分析】多项式求根的迭代式是xn?1?xn?【步骤】

1. 新建参数a=-0.1,b=-0.1,c=1,d=2,e=-1，n＝5。 2. 新建函数f(x)?ax4?bx3?cx2?dx?e，画出它的图像。 3. 在图像上任取一点A，度量A的横坐标xA。 4. 计算xA?f(xA)f(xA))。 ；计算f(xA?f?(xA)f?(xA)f(xA)f(xA))单击，f(xA?【图表】【绘制点】。得到点B。 ??f(x)f(xA)Af(xn)。 f?(xn)5. 依次选择xA?6. 度量B的横坐标xB。

7. 选中点A，和参数n，按住Shift键，单击【变换】菜单【深度迭代】，

弹出迭代对话框，单击点B。结果如图1所示。

图 1

图 2

8. 选择迭代像，单击【变换】菜单【终点】，得到迭代的终点C，度量C

点的横坐标xC。

9. 观察表格可知，显示方程的一个近似根是0.42。

10. 拖动A点，改变它的位置。观察表格可知道方程的另外一个近似根是

3.41。如图2所示。

【MIRA】

【步骤】

1. 在平面上取一点A，度量A的横坐标xA和纵坐标

yA。

2. 新建参数a＝0.4，b=0，99875。（b取得尽量接近1）

(1?a)x23. 新建函数f(x)?ax?。 21?x4. 计算f(xA)＋byA,f(f(xA)＋byA)-xA。注意这里用的是函数嵌

yA,f(f(xA)＋byA)-xA，

B点的颜色

套。顺次选择这两个结果，单击【图表】【绘制（x，y）】。得到点B。 5. 顺次选择点B和三个计算结果：f(xA)＋b

xA。单击菜单【显示】【颜色】【参数】，单击确定。发现

变了，其实B点已经隐藏起来，看到的是同一位置上的另外一个点B’。 6. 新建参数n＝1500，选择A点和参数n作深度迭代。A?B'

【Henon Map（埃农映射）】

【步骤】

1. 在平面上取一点A，度量A的横坐标xA和纵坐标2. 新建参数a=1.2,b=0.4

3. 计算(1?axA2)?yA,byA。顺次选择这两个计算结果，点击【图表】【绘

制(x,y)】，得到点B。

4. 选择点B，并依次选择(1?axA2)?yA,byA和xA，单击菜单【显示】【颜

色】【参数】，出现颜色参数对话框，单击确定。得到点B’。 5. 新建参数n＝1500,选择点A和参数n，作深度迭代，A?B'。

因为M集和朱丽亚集其实是复数平面迭代，我们先来复习一下复平面的一些知识。

若 Zk= xk+ iyk , ? = p+iq

ZK2?(xk2?yk2)?(2xkyk)?i,ZK2???(xk?yk?p)?(q?2xkyk)?i

yA。

则 xk＋1＝xk2－yk2 ＋p，yk＋1＝2xkyk ＋q，聪明的你应该知道怎么表示复平面上的点的平方了吧。

好了，那么什么是Julia集和Mandelbrot集合，他们之间的区别是什么呢？ 考虑 Zk+1=Zk2+?，给定复数初值Z0,? ，得到无穷复数序列{Zk} Julia集：固定?，J? ={Z0?序列{Zk}有界} Mandelbrot集：固定Z0，MZ＝{? ?序列{Zk}有界}