内容发布更新时间 : 2025/1/3 17:58:53星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
高考数学策略四：转化与化归思想
转化与化归思想，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法．一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题. 应用1 直接转化 9
【典例1】(1)(2019·沈阳质量检测(一))抛物线y2＝6x上一点M(x1，y1)到其焦点的距离为2，则点M到坐标原点的距离为________．
π??(2)(2019·福州模拟)函数f(x)＝cos 2x＋a(sin x－cos x)在区间?0，2?上单调递增，则实数a
??的取值范围是________．
p9
(1)33 (2)[2，＋∞) [(1)由y2＝6x，知p＝3，由焦半径公式得x1＋2＝2，即x1＝3，代
2
入得y1＝18，则|MO|＝
2
x21＋y1＝33(O为坐标原点)，故填33.
π??
(2)因为f(x)＝cos 2x＋a(sin x－cos x)在区间?0，2?上单调递增，所以f′(x)＝－2sin 2x＋
??π?π???
a(cos x＋sin x)≥0在区间?0，2?上恒成立，因为x∈?0，2?，所以cos x＋sin x＞0，
????π?2sin 2x2sin 2x4sin xcos x?0，?a≥在区间?上恒成立．令g(x)＝＝，令t＝sin x＋cos x，2??sin x＋cos xsin x＋cos xsin x＋cos xπ??π??
则4sin xcos x＝2(t2－1)，又t＝sin x＋cos x＝2sin?x＋4?，x∈?0，2?，所以t∈1，2，故
????2t2－22
函数h(t)＝t＝2t－t，函数h(t)在t∈[1，2]时单调递增，所以当t＝2时，h(t)取到最大值，h(t)max＝2，故g(x)max＝2，所以a≥2.所以实数a的取值范围为[2，＋∞)．]
?π?1?π?
【对点训练1】(1)若sin?3－α?＝3，则cos?3＋2α?＝( )
????72
A.9 B.3 27C．－3 D．－9
[]
?4?3
(2)(2019·安庆二模)将?x＋x－4?展开后，常数项是________．
??
?π?1?π?1?π??π?
(1)D (2)－160 [(1)∵sin?3－α?＝3，∴cos?6＋α?＝3，∴cos?3＋2α?＝cos 2?6＋α?＝
????????7?π?
2cos2?6＋α?－1＝－9，故选D.
??
2?k?4?3?x－2?6k6－k?－?，展开后的通项是C6(x)·??＝(－2)kCk(2)?x＋x－4?＝?(x)6－2k.令66·??x?x???
3
－2k＝0，得k＝3.所以常数项是C6(－2)3＝－160.]
应用2 等价转化
2y
【典例2】(1)已知正数x，y满足4y－x＝1，则x＋2y的最小值为________． π??0，(2)函数y＝cosx－sin x在x∈?上的最大值为________． 4???
2
2y11?11?
(1)2 (2)1 [(1)由4y－x＝1，得x＋2y＝4xy，即4y＋2x＝1，所以x＋2y＝(x＋2y)?4y＋2x?
??xy
＝1＋4y＋x≥1＋2
xyxy4y·x＝2，当且仅当4y＝x，即x＝2y时等号成立．
所以x＋2y的最小值为2.
(2)y＝cos2x－sin x＝－sin2x－sin x＋1. π??2??
令t＝sin x，又x∈?0，4?，∴t∈?0，?，
??2???2?
∴y＝－t2－t＋1，t∈?0，?.
2??
?2?
∵函数y＝－t2－t＋1在?0，?上单调递减，
2??∴t＝0时，ymax＝1.]
【对点训练2】 (2019·武汉模拟)如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为CD中点，则四面体A-BC1M的体积( )
1111
A.2 B.4 C.6 D.12
C [在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，∵M为CD中点，
11
∴S△ABM＝2×1×1＝2，
111
∴VA-BC1M＝VC1-ABM＝3×2×1＝6.故选C.] 应用3 正与反的相互转化
【典例3】(1)掷一枚均匀的硬币10次，则出现正面的次数多于反面次数的概率为________．
?m?
(2)若对于任意t∈[1,2]，函数g(x)＝x3＋?2＋2?x2－2x在区间(t,3)上总不为单调函数，则
??实数m的取值范围是________．
19337
(1)512 (2)－3＜m＜－5
C52526310
[(1)出现正面次数与出现反面次数相等的概率为210＝1 024＝256.利用对称性，即出现正面的次数多于出现反面次数的概率与出现反面的次数多于出现正面次数的概率是相等的，所63?193?
以出现正面的次数多于出现反面次数的概率为?1－256?÷2＝512.
??
(2)由题意得g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2，
若g(x)在区间(t,3)上总为单调函数，则①g′(x)≥0在(t,3)上恒成立，或②g′(x)≤0在(t,3)上恒成立．
22
由①得3x2＋(m＋4)x－2≥0，即m＋4≥x－3x在x∈(t,3)上恒成立，∴m＋4≥t－3t恒成立，则m＋4≥－1，即m≥－5；
2
由②得m＋4≤x－3x在x∈(t,3)上恒成立， 237
则m＋4≤3－9，则m≤－3.
37
∴函数g(x)在区间(t,3)上总不为单调函数的m的取值范围为－3＜m＜－5.]
【对点训练3】(1)由命题“存在x0∈R，使e|x0－1|－m≤0”是假命题，得m的取值范围是(－∞，a)，则实数a的值是( )
A．(－∞，1) B．(－∞，2)