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提高“高等代数”学习兴趣的策略探讨

作者：李强

来源：《读写算》2014年第13期

【摘要】“高等代数”是高校教育中重要的公共基础课之一，为我们的学习提供重要的理论基础知识和应用工具。本文从“高等代数”的发展入手，对当前“高等代数”学习现状进行分析，并结合笔者自身的学习经验，提出了提高“高等代数”学习兴趣的相关策略，旨在为广大同学提供一定的指导性建议。

【关键词】高等代数学习兴趣现状策略

“高等代数”作为高校数学专业三大基础课程之一，为后期课程的学习，包括近世代数、泛函分析、离散数学、运筹学及线性规划等提供重要的数学理论基础知识和应用工具。高等代数的理论和方法是基础数学和应用数学的重要基础。但由于课程多抽象枯燥，涉及面广，概念多，思维方式独特，严谨性高，对于大多数同学来说，“高等代数”的学习很令人头痛。其实笔者认为高数的学习并不可怕，只要找到适合自己的学习方法，提高对这门课程的认识，克服自身的心理障碍，并能将理论学习与实践相结合，最终一定能提高对这门课程的学习兴趣和创新意识。

一.“高等代数”的发展

历史上对初等代数的研究从最简单的一元一次方程开始，在此基础上又分为两个方向，一方面讨论二元及三元的一次方程组，另一方面研究二次以上及可以转化为二次的方程组，沿此方向发展，代数学在讨论任意多个未知数的一次方程组，又称线型方程组的同时，也在研究次数更高的一元方程组。至此，初等代数演变为高等代数。因此高等代数作为代数学发展到高级阶段的产物，虽包括了许多分支，但目前高校中开设的高等代数，其内容主要还是多项式理论和线性代数两个部分。线性代数是其重要部分。线性代数到了20世纪才成为数学的一个独立分支，起初线性问题是对线性方程组的了解，随着对线性方程组和变量的线性变换问题研究的深入，德国科学家雅克比在1841年建立了行列式的系统理论，从此之后，行列式和矩阵论，二次型和线性变换理论，不变量理论迅速发展起来[1]。这些现代工具如今统称为线性代数学。

二.当前“高等代数”学习现状

笔者对我校数学系学生进行调查问卷后发现，目前我校“高等代数”课程学习现状主要表现在以下问题。

2.1高等代数理论严密、观点抽象，难以接受

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由于高等代数课程特点是理论性强、抽象程度高，且应用广泛，从课程内容的表述到理论体系的构成都能体现这一点。如数环、数域、线性空间、线性变换、欧氏空间等内容多为概念性的、公理化方法叙述的；教学中有大量数学符号的运用，很多同学不易接受；同时，讨论的对象已不是特定的实数或复数，而是非特定的任意元素集的系统，这些集合系统都规定了各自的运算法则，此运算法则即集合系统的公理化，且二者研究处理的方法差别也较大。以上几点使得多数同学认为高等代数理论严密、观点抽象、难以接受。 2.2高等代数概念和定理多，难以理解吃透

在调查时发现，很多同学因为高等代数的概念和定理多，难以吃透课程。还有同学一看教材就懂，但一做题就错。此种现象追根到底还是对概念定理的实际应用能力欠缺，需要后期的强化进行提高。如果多做几遍练习，就能熟练掌握，灵活运用。笔者认为，教材更多地是考察我们对知识的综合运用能力，而非对某个知识点、概念定理的死记硬背。有些同学表示不能很好地理解数学的前后承接关系，不能理解相关概念、性质及结论之间的联系与区别，如线性变换与同构的联系与区别，线性无关——极大无关组——秩——矩阵的秩等的联系；在向量空间的学习时，不能理解集合非空、加法与数量乘法的两种运算、运算要满足八条运算规律等知识的内涵与延伸[2]。

2.3高等代数内容头绪多，难以掌握知识的内在联系

一般认为，高等代数可分为多项式理论与线性代数两大部分。多项式理论以研究多项式的根的存在性及可解性开始，整除性为贯穿内容始终的主线， 由此展开研究最大公因式、因式分解等问题。线性代数内容涉及面广，包括行列式、线性方程组、矩阵、二次型、矩阵、线性空间、线性变换、欧氏空间等。处理线性代数问题的主要手段是线性变换，线性空间、线性变换和欧氏空间可认为是线性代数的几何理论， 各章应以矩阵为主线贯穿起来。高等代数内容头绪多，同学不能充分利用矩阵这一工具，不能很好地将这些知识紧密联系起来，难以掌握知识的内在联系。

2.4多数教师在教学过程中，基本上采用传统的教学方式

学生被动地接受知识，师生互动少，课堂氛围不活跃，忽视对学生创新能力、学习能力和应用能力的培养，难以适应社会的要求，久而久之使学生对“高等代数”的学习产生厌烦心理，缺乏主动学习的兴趣。另外，随着时代的进步，很多教材与教师的教学产生了一些矛盾，如教学内容多、课时少之间的矛盾；教材抽象难懂，缺乏相关实例，教学内容与实际生活联系较少，缺乏实用性，使得学生陷于定义、定理、推论的抽象理论证明当中，教师的教学和现实严重脱节。调查中发现，60.8%的学生认为教学枯燥，体会不到数学知识可以解决现实生产生活问题，缺乏学习兴趣和动力。

三. 提高“高等代数”学习兴趣的策略

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其实“高等代数”并没有我们想象中的那么难以掌握，笔者认为只要找到适合自身的学习方法和学习兴趣，一定能会学好这门课程的。现就结合自身的学习经验，总结如下，希望能对广大同学的高数学习提供一定的参考。

3.1提高对学科重要性的认识，结合中学数学知识，激发学习兴趣

高等代数作为中学代数的延伸和提高，其内容抽象，同学的学习方法、思维方式等发生了一定的转变，在初学这门课程时，很不适应。此时，我们应认真理解课堂中老师对“高等代数”重要性的讲解，这门课程是专升本、考研的必考专业科目，课程性质与后期课程的学习紧密相关，是大学数学专业的基础课之一。另外，在概念、定理、性质的学习时，我们也可借助中学所学知识来帮助理解和记忆。譬如，在学习多项式理论时，我们可以与高中数学所学的多项式进行对比，“高等代数”中的多项式是指符号或文字的形式表达式，不仅可以代表一个数字，还可代表其他待定事物，当未知量代表数字时就是中学中所讲的多项式，是特殊与一般的关系；又如，在多项式整除的学习时，我们可以与数的整除进行对比，除数对应除式，余数对应余式，因此两个多项式的最大公因式对应两个数的最大公因数等等。通过与中学数学知识的结合学习，便于我们发现其中的联系，在巩固旧知识的同时，加深了对新知识的掌握，消除了我们对高等代数学习的恐惧和陌生感，更利于激发我们的学习兴趣，使我们爱学、乐学。 3.2深刻理解“高等代数”中的数学概念

数学概念通常是以严格、清晰的定义形式给出，我们在理解记忆时，应弄清楚每个字、每句话的真实含义，不能望文生义。例如在学习矩阵和行列式时，我们经常混淆两者的表示符号，当用初等变换化简一个矩阵时，常将每一步之间用等号相连结，计算行列式时又常将每一步之间用箭头相连结。出现这种现象的根本是我们仍未明确矩阵、行列式的定义以及两者的联系和本质差别。因此，我们可以将矩阵和行列式进行对比得出，行列式是个代数，而矩阵是个表。又如，在学习向量空间定义中的加法、零向量、负向量时，它们并不是通常意义中的加法、零元素、负元素。我们需要正确把握其概念的含义，正确理解定理和法则的内容，进行定理的证明和解答，注重通过对比、联想概念之间的异同，找到每个概念的特点和本质。另外，还可使抽象概念具体化，加深对概念的认识和理解。如，在学习向量空间时，可以将概念具体化，加法运算为通常的乘法运算，而纯量乘法为通常的乘方运算；零向量为正整数1，而一个向量的负向量是这个元素的倒数。通过把抽象的高等代数概念具体化，可以加深我们对概念的理解，更容易找到学习的乐趣，在解题时也更加利于找到突破点。 3.3深入理解“高等代数”中的数学定理

定理是高等代数的核心部分，是概念之间的规律性联系，在这门课程中所获得的规律性认识主要来源于定理。我们在学习定理时，一定要深入理解定理中所包含的内容，记住结论，并会运用定理进行论证。同时，还要认真弄懂定理的证明过程。定理的证明过程可培养和发展我们的逻辑推理能力，利于开拓证题思路，掌握更多的证明方法，有效提高推理论证能力。例