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数学高考圆锥曲线压轴题经典预测

一、圆锥曲线中的定值问题 ★★椭圆C：x2a2＋y2

b2

＝1（a＞b＞0）的离心率e＝32，a＋b＝3． （Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线DP交x轴于点N直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m，证明2m－k为定值．

★★如图，椭圆C：x2a2＋y2b2

＝1（a＞b＞0）经过点P（1，），离心率e＝，2231直线l的方程为x＝4． （Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在常数λ，使得k1＋k2＝λk3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．

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★★椭圆C：2＋x2y2b2

a＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别是F1，F2，离心率为32，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1． （Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围；

（Ⅲ）在（2）的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，若k≠0，试证明11kk1＋

kk2为定值，并求出这个定值． - 2 -

二、圆锥曲线中的最值问题

★★在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：2＋x2y2b2

a＝1（a＞b＞0）的离心率为32，直线y＝x被椭圆C截得的线段长为（Ⅰ）求椭圆C的方程；

4105． （Ⅱ）过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点）．点

D在椭圆C上，且AD⊥AB，直线BD与x轴、y轴分别交于M，N两点．

（i）设直线BD，AM的斜率分别为k1，k2，证明存在常数λ使得k1＝λk2，并求出λ的值；

（ii）求△OMN面积的最大值．

★★已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|FA|＝|FD|．当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形． （Ⅰ）求C的方程；

（Ⅱ）若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E， （ⅰ）证明直线AE过定点，并求出定点坐标；

（ⅱ）△ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．

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