内容发布更新时间 : 2024/11/20 10:32:09星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

专题8：导数（文）

经典例题剖析 考点一：求导公式。 例1. f?(x)是f(x)?13x?2x?1的导函数，则f?(?1)的值是 。 32 解析：f'?x??x?2，所以f'??1??1?2?3 答案：3

考点二：导数的几何意义。

例2. 已知函数y?f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y?1x?2，则2f(1)?f?(1)? 。

解析：因为k?11，所以f'?1??，由切线过点M(1，f(1))，可得点M的纵坐标为2255，所以f?1??，所以f?1??f'?1??3 22答案：3

，?3)处的切线方程是 。 例3.曲线y?x?2x?4x?2在点(1，?3)处切线的斜率为k?3?4?4??5，所以设切解析：y'?3x?4x?4，?点(1232线方程为y??5x?b，将点(1所以，过曲线上点(1，?3)带入切线方程可得b?2，，?3)处的切线方程为：5x?y?2?0 答案：5x?y?2?0

点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。 考点三：导数的几何意义的应用。

例4.已知曲线C：y?x?3x?2x，直线l:y?kx，且直线l与曲线C相切于点

32?x0,y0?x0?0，求直线l的方程及切点坐标。

解析：?直线过原点，则k?y0?x0?0?。由点?x0,y0?在曲线C上，则x0y0?x0?3x0?2x0，? 32y02?x0?3x0?2。又y'?3x2?6x?2，? 在x02?x0,y0?

处曲线C

的切线斜率为k?f'?x0??3x0?6x0?2，?222x0?3x0?0，整理得：解得：x0?x0?3x0?2?3x0?6x0?2，

3或x0?02（舍），此时，y0??311，k??。所以，直线l的方程为y??x，切点坐标是844?33??,??。 ?28?答案：直线l的方程为y??1?33?x，切点坐标是?,?? 4?28? 点评：本小题考查导数几何意义的应用。解决此类问题时应注意“切点既在曲线上又在切线上”这个条件的应用。函数在某点可导是相应曲线上过该点存在切线的充分条件，而不是必要条件。

考点四：函数的单调性。

例5.已知f?x??ax?3x?x?1在R上是减函数，求a的取值范围。

32解析：函数f?x?的导数为f'?x??3ax?6x?1。对于x?R都有f'?x??0时，f?x?2为减函数。由3ax?6x?1?0?x?R?可得?2?a?0，解得a??3。所以，

??36?12a?0?当a??3时，函数f?x?对x?R为减函数。

1?8?（1） 当a??3时，f?x???3x3?3x2?x?1??3?x???。

3?9?由函数y?x在R上的单调性，可知当a??3是，函数f?x?对x?R为减函数。

33（2） 当a??3时，函数f?x?在R上存在增区间。所以，当a??3时，函数f?x?在

R上不是单调递减函数。

综合（1）（2）（3）可知a??3。

答案：a??3

点评：本题考查导数在函数单调性中的应用。对于高次函数单调性问题，要有求导意识。 考点五：函数的极值。

例6. 设函数f(x)?2x?3ax?3bx?8c在x?1及x?2时取得极值。 （1）求a、b的值；

（2）若对于任意的x?[0，3]，都有f(x)?c成立，求c的取值范围。

解析：（1）f?(x)?6x?6ax?3b，因为函数f(x)在x?1及x?2取得极值，则有

2232?6?6a?3b?0，，解得a??3，b?4。 f?(1)?0，f?(2)?0．即??24?12a?3b?0．（2）由（Ⅰ）可知，f(x)?2x?9x?12x?8c，f?(x)?6x?18x?12?6(x?1)(x?2)。 当x?(01)，时，f?(x)?0；当x?(1，2)时，f?(x)?0；当x?(2，3)时，f?(x)?0。所以，当x?1时，f(x)取得极大值f(1)?5?8c，又f(0)?8c，f(3)?9?8c。则当x??0，3?时，f(x)的最大值为f(3)?9?8c。因为对于任意的x??0，3?，有f(x)?c恒成立，

2322所以 9?8c?c，解得 c??1或c?9，因此c的取值范围为(??，?1)U(9，??)。

2?1)U(9，??)。 答案：（1）a??3，b?4；（2）(??， 点评：本题考查利用导数求函数的极值。求可导函数f?x?的极值步骤：①求导数f'?x?； ②求f'?x??0的根；③将f'?x??0的根在数轴上标出，得出单调区间，由f'?x?在各区间上取值的正负可确定并求出函数f?x?的极值。 考点六：函数的最值。

例7. 已知a为实数，f?x??x?4?x?a?。求导数f'?x?；（2）若f'??1??0，求f?x?2??在区间??2,2?上的最大值和最小值。

解析：（1）f?x??x?ax?4x?4a，? f'?x??3x?2ax?4。

322（2）f'??1??3?2a?4?0，?a?

12。?f'?x??3x?x?4??3x?4??x?1? 2

令f'?x??0，即?3x?4??x?1??0，解得x??1或x?上随x的变化情况如下表： 4， 则f?x?和f'?x?在区间??2,2?34 30 极小值 x ?2 0 ??2,?1? ＋ 增函数 ?1 0 极大值 4????1,? 3??— 减函数 ?4??,2? ?3?＋ 增函数 2 0 f'?x? f?x? f??1??50509?4??4?，f????。所以，f?x?在区间??2,2?上的最大值为f????，最

3273272????小值为f??1??9。 22答案：（1）f'?x??3x?2ax?4；（2）最大值为f?????4??3?509，最小值为f??1??。 272 点评：本题考查可导函数最值的求法。求可导函数f?x?在区间?a,b?上的最值，要先求出函数f?x?在区间?a,b?上的极值，然后与f?a?和f?b?进行比较，从而得出函数的最大最小值。

考点七：导数的综合性问题。

例8. 设函数f(x)?ax?bx?c(a?0)为奇函数，其图象在点(1,f(1))处的切线与直线

3x?6y?7?0垂直，导函数f'(x)的最小值为?12。（1）求a，b，c的值；

（2）求函数f(x)的单调递增区间，并求函数f(x)在[?1,3]上的最大值和最小值。 解析： （1）∵f(x)为奇函数，∴f(?x)??f(x)，即?ax?bx?c??ax?bx?c

33∴c?0，∵f'(x)?3ax?b的最小值为?12，∴b??12，又直线x?6y?7?0的斜率为

21，因此，f'(1)?3a?b??6，∴a?2，b??12，c?0． 623（2）f(x)?2x?12x。 f'(x)?6x?12?6(x?2)(x?2)，列表如下：

x (??,?2) ? ?2 (?2,2) 2 (2,??) ? f'(x) 0 ? 0