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2016-2017下八年级数学培优（1）

班级：_______ 姓名：___________ 座号：________

1.已知四边形ABCD，从下列条件中：①AB∥CD;②BC∥AD;③AB=CD;④BC＝AD；⑤∠A＝ ∠C；⑥∠B＝∠D中，任取其中两个，可以得到“四边形ABCD是平行四边形”这一结 论的情况有（ B ）．

A． 4种 B． 9种 C． 13种 D． 15种

2.如图所示，已知AO是△ABC中∠BAC的角平分线，BD⊥AO的延长线于D，E 是BC的中点.AB=9,AC=3,则DE= 1（AB-AC）. =3 2

3.以锐角△ABC的边AC、BC、AB向外作等边△ACD、等边△BCE、等边△ABF，连接DF、EF, 如图所示.求证：四边形DCEF是平行四边行.

∵∠DAF+∠FAC=∠FAC+∠CAB=60°， ∴∠DAF=∠CAB， 又∵AD=AC，AF=AB， ∴△ADF≌△ACB ∴DF=CB， 又∵CB=CE, ∴DF=CE， 同理可证EF=AC，CD=AC， ∴EF=CD，

∴四边形CDFE是平行四边形

4.如图，已知四边形ABCD的对角线AC、BD交于点P，过点P作直线，交AD于E点、交BC于F点.若PE=PF，且AP+AE=CP+CF．证明：四边形ABCD为平行四边形．

证明：延长AC，在C上方取N，A下方取M，使AM=AE，CN=CF，则由已知可得PM=PN，易证△PME≌△PNF，且△AME，△CNF都是等腰三角形． ∴∠M=∠N，∠MEP=∠NFP ∴∠AEP=∠PFC ∴AD∥BC，

可证得△PAE≌△PCF，得PA=PC， 再证△PED≌△PFB．得PB=PD． ∴ABCD为平行四边形．

1

5.如图，△ABC中，∠C=90°,点M在BC上，且BM=AC，点N在AC上，且AN=MC,AM与BN相交于点P，求证：∠BPM=45°．

解：如图，过M作ME∥AN，使ME=AN，连NE，BE， 则四边形AMEN为平行四边形， ∴NE=AM，ME⊥BC， ∵AN=MC， ∴ME=CM，

在△BEM和△AMC中，

ME＝MC∠EMB＝∠MCA＝90°BM＝AC， ∴△BEM≌△AMC（SAS），

∴BE=AM=NE，∠1=∠2，∠3=∠4， ∵∠1+∠3=90°，

∴∠2+∠4=90°且BE=NE，

∴△BEN为等腰直角三角形，∠BNE=45°， ∵AM∥NE，

∴∠BPM=∠BNE=45°．

6.在□ABCD中,∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC的延长线于点F. （1）在图1中证明CE=CF；

（2）若∠ABC=90°，G是EF的中点（如图2），直接写出∠BDG的度数；

（3）若∠ABC=120°，FG∥CE，FG=CE，分别连接DB、DG（如图3），求∠BDG的度数．

（1）证明：如图1，∵AF平分∠BAD， ∴∠BAF=∠DAF，

∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD，

∴∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠F， ∴∠CEF=∠F． ∴CE=CF．

（2）解：连接GC、BG，

∵四边形ABCD为平行四边形，∠ABC=90°， ∴四边形ABCD为矩形，

∵AF平分∠BAD，∴∠DAF=∠BAF=45°， ∵∠DCB=90°，DF∥AB， ∴∠DFA=45°，∠ECF=90° ∴△ECF为等腰直角三角形， ∵G为EF中点，

2

∴EG=CG=FG，CG⊥EF，

∴△ABE为等腰直角三角形，AB=DC， ∵BE=DC，

∴∠CEF=∠GCF=45°， ∴∠BEG=∠DCG=135° ∴△BEG≌△DCG， ∴BG=DG， ∵CG⊥EF，

∴∠DGC+∠DGA=90°，

又∵∠DGC=∠BGA，∴∠BGE+∠DGE=90°， ∴△DGB为等腰直角三角形，∴∠BDG=45°， （3）解：延长AB、FG交于H，连接HD．

∵AD∥GF，AB∥DF，∴四边形AHFD为平行四边形 ∴∠ABC=120°，AF平分∠BAD

∴∠DAF=30°，∠ADC=120°，∠DFA=30° ∴△DAF为等腰三角形 ∴AD=DF

∴平行四边形AHFD为菱形

∴△ADH，△DHF为全等的等边三角形 ∴DH=DF，∠BHD=∠GFD=60° ∵FG=CE，CE=CF，CF=BH ∴BH=GF ∴△BHD≌△GFD， ∴∠BDH=∠GDF

∴∠BDG=∠BDH+∠HDG=∠GDF+∠HDG=60°

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