内容发布更新时间 : 2024/5/3 15:41:24星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

9

解得a≥－，

2

?9?

故a的取值范围为?－，＋∞?.

?2?

1

跟踪演练2 (1)(0,1] (2)(－，＋∞)

9

解析 (1)由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，又由

1

f′(x)＝x－≤0，解得0

x(2)对f(x)求导， 得f′(x)＝－x2＋x＋2a 11

＝－(x－)2＋＋2a.

24

2

当x∈[，＋∞)时，f′(x)的最大值为

322

f′()＝＋2a.

3921令＋2a>0，解得a>－. 99

1

所以a的取值范围是(－，＋∞)．

9

例3 解 (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，

p2px2－2x＋pf′(x)＝p＋2－＝.

xxx2

由条件知f′(x)≥0在(0，＋∞)内恒成立， 2x即p≥2恒成立．

x＋1

2x2x2x而2≤＝1，当x＝1时等号成立，即2的最大值为1， x＋12·x·1x＋1所以p≥1，即实数p的取值范围是[1，＋∞)． (2)设h(x)＝f(x)－g(x)，则已知等价于

h(x)>0在[1，e]上有解，

即等价于h(x)在[1，e]上的最大值大于0.

p22e因为h′(x)＝p＋2－＋2

xxxpx2＋p＋2?e－x?＝>0，

x2

所以h(x)在[1，e]上是增函数，

所以h(x)max＝h(e)＝pe－－4>0，

e

p解得p>

4e

. 2

e－1

4e

，＋∞)． e－1

2

所以实数p的取值范围是(

(3)已知条件等价于f(x)max>g(x)min.

当p≥1时，由(1)知f(x)在[1，e]上是增函数，

所以f(x)max＝f(e)＝pe－－2.

e

1±1－p2

p当0

p，

可知f(x)在(1，

1＋1－p2

p)上是减函数，在(

1＋1－p2

p，e)上是增函数．

若f(x)max＝f(1)＝0，由于g(x)min＝2，所以此时无解．

所以f(x)max＝f(e)＝pe－－2>0.

e

p综上可知，应用pe－－2>2，

e4e

解得p>2.

e－1

4e

，＋∞)． e2－1

p所以实数p的取值范围是(

跟踪演练3 解 (1)函数的定义域为(0，＋∞)，

－2ax＋ax＋1

22

f′(x)＝

x.

因为x＝1是函数y＝f(x)的极值点， 所以f′(1)＝1＋a－2a＝0， 1

解得a＝－(舍去)或a＝1.

2

经检验，当a＝1时，x＝1是函数y＝f(x)的极值点， 所以a＝1.

(2)当a＝0时，f(x)＝ln x，显然在定义域内不满足f(x)<0； 当a>0时，

?2ax＋1??－ax＋1?

2

令f′(x)＝

x1

＝0，得

x1＝－(舍去)，x2＝，

2aa所以f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

1

x 1(0，) 1aa 1(，＋∞) af′(x) ＋ 0 － f(x) 极大值 11

所以f(x)max＝f()＝ln <0，

aa所以a>1.

综上可得a的取值范围是(1，＋∞)． 高考押题精练

解析 y＝f(x)＝ln x的定义域为(0，＋∞)，设切点为(x0，y0)，则切线斜率k＝f′(x0)＝.∴切线方程为y－y0＝(x－x0)，又切线过点(0,0)，代

1

1

x0x0

11入切线方程得y0＝1，则x0＝e，∴k＝＝.

x0e22．－ 3

解析 由题意知f′(x)＝3x2＋2ax＋b，

?3＋2a＋b＝0，

f′(1)＝0，f(1)＝10，即?2

?1＋a＋b－a－7a＝10，

?a＝－2，解得?

?b＝1

或