内容发布更新时间 : 2024/11/14 12:21:47星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

当x＜－4时，g′(x)＜0，故g(x)为减函数； 当－4＜x＜－1时，g′(x)＞0，故g(x)为增函数； 当－1＜x＜0时，g′(x)＜0，故g(x)为减函数； 当x＞0时，g′(x)＞0，故g(x)为增函数．

综上知g(x)在(－∞，－4)和(－1,0)内为减函数，在(－4，－∞)内为增函数．

10．解 (1)∵函数f(x)＝x2

8

－ln x，

∴f′(x)＝x1

4－x，

令f′(x)＝0得x＝±2， ∵x∈[1,3]，

当10；

∴f(x)在(1,2)上是单调减函数， 在(2,3)上是单调增函数，

∴f(x)在x＝2处取得极小值f(2)＝1

2

－ln 2；

1)和(0，＋19

又f(1)＝，f(3)＝－ln 3，

88

19

∵ln 3>1，∴－(－ln 3)＝ln 3－1>0，

88∴f(1)>f(3)，

11

∴x＝1时f(x)的最大值为，x＝2时函数取得最小值为－ln 2.

821

(2)由(1)知当x∈[1,3]时，f(x)≤，

8故对任意x∈[1,3]，f(x)<4－at恒成立，

131

只要4－at>对任意t∈[0,2]恒成立，即at<恒成立，记g(t)＝at，

88

t∈[0,2]．

?

∴?31?g?2?<8，g?0?<，318

31

解得a<，

16

∴实数a的取值范围是(－∞，

31)． 16

11．20

解析 因为f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，令f′(x)＝0，得x＝±1，可知－1,1为函数的极值点．又f(－3)＝－19，

f(－1)＝1，f(1)＝－3，f(2)＝1，

所以在区间[－3,2]上f(x)max＝1，f(x)min＝－19.由题设知在区间[－3,2]上f(x)max－f(x)min≤t，从而t≥20，所以t的最小值是20. 1

12．(0，)

2

解析 f′(x)＝ln x＋1－2ax(a>0)，

ln x＋1

问题转化为a＝在(0，＋∞)上有两个实数解．

2xln x＋1ln x，则g′(x)＝－2. 2x2x设g(x)＝

所以g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，g(x)在x＝1处取1

得极大值也是最大值，即g(x)max＝g(1)＝.

2

1

注意g()＝0，当x>1时，g(x)>0，则g(x)的大致图象如图所示．

e

1ln x＋1

由图象易知0

22x13．解 (1)f′(x)＝aex(x＋2)，

g′(x)＝2x＋b.

由题意，得两函数在x＝0处有相同的切线． ∴f′(0)＝2a，g′(0)＝b， ∴2a＝b，f(0)＝a，g(0)＝2， ∴a＝2，b＝4，

∴f(x)＝2ex(x＋1)，g(x)＝x2＋4x＋2. (2)由(1)知f′(x)＝2ex(x＋2)， 由f′(x)>0得x>－2，

由f′(x)<0得x<－2，

∴f(x)在(－2，＋∞)单调递增， 在(－∞，－2)单调递减．∵t>－3， ∴t＋1>－2.

①当－3

②当t≥－2时，f(x)在[t，t＋1]单调递增， ∴f(x)min＝f(t)＝2et(t＋1)；

?－2e?－3

∴f(x)＝?t?2e?t＋1??t≥－2?.

－2

(3)令F(x)＝kf(x)－g(x)＝2kex(x＋1)－x2－4x－2， 由题意当x≥－2时，F(x)min≥0. ∵?x≥－2，kf(x)≥g(x)恒成立， ∴F(0)＝2k－2≥0， ∴k≥1.