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第三章 直线与方程测试题
一．选择题（每小题5分，共12小题，共60分）
1．若直线过点(3,－3)且倾斜角为30°,则该直线的方程为（ ）
A．y＝3x－6 B. y＝
333x＋4 C . y＝x－4 D. y＝x＋2 3332. 如果A(3, 1)、B(－2, k)、C(8, 11), 在同一直线上，那么k的值是（ ）。
A. －6 B. －7 C. －8 D. －9
3. 如果直线 x＋by＋9=0 经过直线 5x－6y－17=0与直线 4x＋3y＋2=0 的交点，那么b等于（ ）.
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
220
4. 直线 (2m－5m＋2)x－(m－4)y＋5m=0的倾斜角是45, 则m的值为（ ）。 A.2 B. 3 C. －3 D. －2
5.两条直线3x?2y?m?0和(m2?1)x?3y?2?3m?0的位置关系是( ) A.平行 B.相交 C.重合 D.与m有关
5*6．到直线2x+y+1=0的距离为5的点的集合是( )
A.直线2x+y－2=0 B.直线2x+y=0
C.直线2x+y=0或直线2x+y－2=0 D.直线2x+y=0或直线2x+2y+2=0
7直线x?2y?b?0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于１，那么b的取值范围是（ ） Ａ．??2,2? Ｂ．???,?2???2,??? Ｃ．??2,0???0,2? Ｄ．???,???
*8．若直线l与两直线y＝1，x－y－7＝0分别交于M，N两点，且MN的中点是P（1，－1），则直线l的斜率是（ ）
2233A．－ B． C．－ D． 3322213 c＋29．两平行线3x－2y－1＝0，6x＋ay＋c＝0之间的距离为 ，则 的值是( )
13aA .±1 B. 1 C. -1 D . 2
10．直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是（ ） A．x＋2y－1＝0 B．2x＋y－1＝0 C．2x＋y－3＝0 D．x＋2y－3＝0
**11．点P到点A′（1，0）和直线x＝－1的距离相等，且P到直线y＝x的距离等于这样的点P共有 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 *12．若y＝a｜x｜的图象与直线y＝x＋a（a＞0）
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2
，2
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有两个不同交点，则a的取值范围是 （ ） A．0＜a＜1 B．a＞1 C．a＞0且a≠1 D．a＝1
二．填空题（每小题5分，共4小题，共20分）
13. 经过点(－2,－3) , 在x轴、y轴上截距相等的直线方程是 ； 或 。
*14. 直线方程为(3a＋2)x＋y＋8=0, 若直线不过第二象限，则a的取值范围是 。 15. 在直线x?3y?0上求一点，使它到原点的距离和到直线x?3y?2?0的距离相等，则此点的坐标为 .
22
*16. 若方程x-xy-2y+x+y =0表示的图形是 。 三．解答题（共6小题，共70分）
17．（12分）在△ABC中，BC边上的高所在直线方程为：x－2y+1=0，∠A的平分线所在直线方程为：y=0，若点B的坐标为（1，2），求点A和C的坐标.
*18．已知直线（a－2）y＝（3a－1）x－1.
（1）求证：无论a为何值，直线总过第一象限； （2）为使这条直线不过第二象限，求a的取值范围.
19．已知实数x，y满足2x＋y＝8，当2≤x≤3时，求 的最值.
20．已知点P（2，－1）.
（1）求过P点与原点距离为2的直线l的方程；
（2）求过P点与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？
（3）是否存在过P点与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由.
y－32
**21．已知集合A＝｛（x，y）｜ ＝a＋1｝，B＝｛（x，y）｜（a－1）x＋（a－1）yx－2＝15｝，求a为何值时，A∩B＝?.
**22．有一个附近有进出水管的容器，每单位时间进 出的水量是一定的，设从某时刻开始10分钟内只进水， 不出水，在随后的30分钟内既进水又出水，得到时间x （分）与水量y（升）之间的关系如图所示，若40分钟 后只放水不进水，求y与x的函数关系.
yxy 30 · B 2 0 · A · 10 · · · · 10 20 30 40 O x 答案与提示
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一．选择题
1—4 CDDB 5—8 BDCA 9—12 ADCB 提示：
1. 据直线的点斜式该直线的方程为y-(-3)=tan30(x-3),整理即得。
0
2. 由kAC=kBC=2得D
3. 直线 5x－6y－17=0与直线 4x＋3y＋2=0 的交点坐标为(1, －2), 代入直线x＋by＋9＝0，得b=5
2
2m－5m＋2
4. 由题意知k=1,所以=1,所以m=3或m=2（舍去） 2
m-43m+1
5. 第一条直线的斜率为k1=-，第二条直线的斜率为k2=>0所以k1≠k2.
23
2
5|2x+y+1|56. 设此点坐标为（x,y）,则=，整理即得。 22
2+1
b1b1212
7. 令x=0,得y=，令y=0,x=-b,所以所求三角形面积为|||b|=b,且b≠0，b＜1，所以
22244b＜4，所以b∈??2,0???0,2?.
2
8. 由题意，可设直线l的方程为y＝k（x－1）－1，分别与y＝1，x－y－7＝0联立解得M2k－6－6k＋1（ ＋1，1），N（ ， ）. kk－1k－12又因为MN的中点是P（1，－1），所以由中点坐标公式得k＝－ . 33－2－1
9. 由题意 ＝ ≠ ，∴a＝－4，c≠－2.
6ac则6x＋ay＋c＝0可化为3x－2y＋ ＝0.
2
｜ ＋1｜2213
由两平行线距离得 ＝ ，得c＝2或c＝－6，
1313 ∴
ccc＋2
＝±1. a10.直线x－2y＋1＝0与x＝1的交点为A（1，1），点（－1，0）关于x＝1的对称点为B（3，0）也在所求直线上，
1
∴所求直线方程为y－1＝－ （x－1），
21
即x＋2y－3＝0，或所求直线与直线x－2y＋1＝0的斜率互为相反数，k＝－ 亦可得解.
211.由题意知
（x－1）＋y ＝｜x＋1｜且
222 ｜x－y｜ ＝ ， 22
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?y＝4x ?y＝4x ?y＝4x 所以? ?? ①或? ②，
?｜x－y｜＝1?x－y＝1?x－y＝－1
222
解得，①有两根，②有一根.
12..如图，要使y＝a｜x｜的图象与直线y＝x＋a（a＞0）有两个不同的交点，则a＞1.
二．填空题
13．x＋y＋5＝0或3x－2y=0 14．a≤－
y y＝a｜x｜ y＝x－a 31312 15．(?,)或(,?) 35555O x 16．两条直线.
提示：
13.注意经过原点的直线在x轴、y轴上的截距均为零
14.直线在y轴上的截距为-8，直线不过第二象限，画图可知，直线的斜率为正或0，即 -（3a＋2）≥0，所以a≤－
2。 32
2
|-3y0+3 y0-2|1
，可得y=± 0225 1+3
22
16.x-xy-2y+x+y =（x+y）(x-2y)+(x+y)= （x+y）(x-2y+1)=0,所以表示两条直线x+y=0，x-2y+1=0. 三．解答题
15.设此点坐标（-3y0, y0）,由题意（-3y0）+ y0=
?x?2y?1?02?0?1，∵x轴为∠A的平分17．解：由? ∴A（－1，0） ，又KAB=
1?(?1)y?0?线，故KAC=－1，∴AC：y=－(x+1) ，∵BC边上的高的方程为：x－2y+1=0 ，∴KBC=－2 ∴
BC：y－2=－2（x－1），即：2x+y－4=0 ，由??2x?y?4?0 ，解得C（5，－6）。
?x?y?1?018.解：（1）将方程整理得
a（3x－y）＋（－x＋2y－1）＝0，对任意实数a，直线恒过3x－y＝0与x－2y＋1＝0的交
13
点（ ， ），
5513
∴直线系恒过第一象限内的定点（ ， ），
55
即无论a为何值，直线总过第一象限. 1
（2）当a＝2时，直线为x＝ ，不过第二象限；当a≠2时，直线方程化为
53a－11y＝ x－ ，不过第二象限的充要条件为
a－2a－2
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3a－1??a－2 ＞0
?a＞2，综上a≥2时直线不过第二象限. ?1
?? a－2 ≤0
19.思路点拨：本题可先作出函数y＝8－2x（2≤x≤3）的图象， 把 看成过点（x，y）和原点的直线的斜率进行求解. 解析：如图，设点P（x，y），因为x，y满足2x＋y＝8， 且2≤x≤3，所以点P（x，y）在线段AB上移动，并且A，B 两点的坐标分别是A（2，4），B（3，2）.
y2
因为 的几何意义是直线OP的斜率，且kOA＝2，kOB＝ ，
x3
y 4 · A 3 P · ·2 · B 1 · · · · ·1 2 3 4 x O yxy2所以 的最大值为2，最小值为 . x3
20.解：（1）过P点的直线l与原点距离为2，而P点坐标为（2，－1），可见，过P（2，－1）垂直于x轴的直线满足条件. 此时l的斜率不存在，其方程为x＝2.
若斜率存在，设l的方程为y＋1＝k（x－2）， 即kx－y－2k－1＝0.
｜－2k－1｜3
由已知，得 ＝2，解得k＝ .
4k2＋1 此时l的方程为2x－4y－10＝0.
综所，可得直线l的方程为x＝2或2x－4y－10＝0.
（2）作图可证过P点与原点O距离最大的佳绩是过P点且与PO垂直的直线，由l⊥OP，得
1
k1kOP＝－1，所以k1＝ ＝2.
kOP由直线方程的点斜式得y＋1＝2（x－2）， 即2x－y－5＝0.
｜－5｜
即直线2x－y－5＝0是过P点且与原点O距离最大的直线，最大距离为 ＝5 .
5 （3）由（2）可知，过P点不存在到原点距离超达5 的直线，因此不存在过点P点且到原点距离为6的直线.
21.思路点拨：先化简集体A，B，再根据A∩B＝?，求a的值. 自主解答：集合A、B分别为xOy平面上的点集；直线l1：（a＋1）x－y－2a＋1＝0（x≠2），l2：（a2－1）x＋（a－1）y－15＝0.
2
?（a＋1）（a－1）＝（－1）·（a－1）由?，解得a＝±1. 2
? －1×（－15）≠（a－1）（－2a－1）
①当a＝1时，显然有B＝?，所以A∩B＝?； ②当a＝－1时，集合A为直线y＝3（x≠2），
15
集合B为直线y＝－ ，两直线平行，所以A∩B＝?；
2
③由l1可知（2，3）?A，当（2，3）∈B时，即2（a－1）＋3（a－1）－15＝0，
55
可得a＝ 或a＝－4，此时A∩B＝?.综上所述，当a＝－4，－1，1， 时，
22
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