内容发布更新时间 : 2024/10/15 15:25:33星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

实验二 应用 FFT 对信号进行频谱分析

一、实验目的

1、在理论学习的基础上，通过本次实验，加深对快速傅里叶变换的理解，熟悉 FFT 算法

及其程序的编写。

2、熟悉应用 FFT 对典型信号进行频谱分析的方法。

3、了解应用 FFT 进行信号频谱分析过程中可能出现的问题，以便在实际中正确应用 FFT。

二、实验原理与方法

一个连续信号 xa(t)的频谱可以用它的傅立叶变换表示为

??Xa(j?)????j?tx(t)edt a? （2-1）

如果对该信号进行理想采样，可以得到采样序列

x(n)?xa(nT)

（2-2）

同样可以对该序列进行z变换，其中T为采样周期

X(z)?n???j??x(n)z???n （2-3）

当 z?ej?的时候，我们就得到了序列的傅立叶变换

X(e)?n????x(n)e???j?n （2-4）

其中ω称为数字频率，它和模拟域频率的关系为

???T??f

s （2-5）

式中的fs是采样频率。上式说明数字频率是模拟频率对采样率fs的归一化。同模拟域的情况相似，数字频率代表了序列值变化的速率，而序列的傅立叶变换称为序列的频谱。序

列的傅立叶变换和对应的采样信号频谱具有下式的对应关系

X(ej?)?1??2?mX(j) （2-6） ?aTT即序列的频谱是采样信号频谱的周期延拓。从式（2-6）可以看出，只要分析采样序列

的频谱，就可以得到相应的连续信号的频谱。注意：这里的信号必须是带限信号，采样也必须满足 Nyquist 定理。

在各种信号序列中，有限长序列在数字信号处理中占有很重要的地位。无限长的序列也往往可以用有限长序列来逼近。对于有限长的序列我们可以使用离散傅立叶变换（DFT），这一变换可以很好地反应序列的频域特性，并且容易利用快速算法在计算机上实现当序列的长度是 N 时，我们定义离散傅立叶变换为：

kn X(K)?DFT[x(n)]??x(n)WNn?0N?1 （2-7）

其中，WN?e?j2?N它的反变换定义为：

（2-8）

1N?1?kn x(n)?IDFT[X(k)]??X(k)WNNk?0?k根据式（2-3）和（2-7）令 z?WN，则有

N?1n?0knX(z)z?W?k??x(n)WN?DFT[x(n)]

N （2-9）

可以得到 X(k)?X(z)z?W?k?eNj2?kN?k,WN是 z 平面单位圆上幅角为??2?k的N点，就是将单位圆进行 N 等分以后第 k 个点。所以，X(k)是 z 变换在单位圆上的等距采样，或者说是序列傅立叶变换的等距采样。时域采样在满足 Nyquist 定理时，就不会发生频谱混淆；同样地，在频率域进行采样的时候，只要采样间隔足够小，也不会发生时域序列的混淆。

DFT 是对序列傅立叶变换的等距采样，因此可以用于序列的频谱分析。在运用 DFT 进行频谱分析的时候可能有三种误差，分析如下：

（1）混淆现象

从式（2-6）中可以看出，序列的频谱是采样信号频谱的周期延拓，周期是

2?，因此T当采样速率不满足 Nyquist 定理，即采样频率 fs?1小于两倍的信号（这里指的是实信

T号）频率时，经过采样就会发生频谱混淆。这导致采样后的信号序列频谱不能真实地反映原信号的频谱。所以，在利用 DFT 分析连续信号频谱的时候，必须注意这一问题。避免混淆现象的唯一方法是保证采样的速率足够高，使频谱交叠的现象不出现。这就告诉我们，在确定信号的采样频率之前，需要对频谱的性质有所了解。在一般的情况下，为了保证高于折叠频率的分量不会出现，在采样之前，先用低通模拟滤波器对信号进行滤波。

（2）泄漏现象

实际中的信号序列往往很长，甚至是无限长序列。为了方便，我们往往用截短的序列来近似它们。这样可以使用较短的 DFT 来对信号进行频谱分析。这种截短等价于给原信号序列乘以一个矩形窗函数。而矩形窗函数的频谱不是有限带宽的，从而它和原信号的频谱进行卷积以后会扩展原信号的频谱。值得一提的是，泄漏是不能和混淆完全分离开的，因为泄露导致频谱的扩展，从而造成混淆。为了减小泄漏的影响，可以选择适当的窗函数使频谱的扩散减到最小。

（3）栅栏效应

因为 DFT 是对单位圆上 z 变换的均匀采样，所以它不可能将频谱视为一个连续函数。这样就产生了栅栏效应，从某种角度来看，用 DFT 来观看频谱就好像通过一个栅栏来观看一幅景象，只能在离散点上看到真实的频谱。这样的话就会有一些频谱的峰点或谷点被“栅栏”挡住，不能被我们观察到。减小栅栏效应的一个方法是在源序列的末端补一些零值，从

而变动 DFT 的点数。这种方法的实质是认为地改变了对真实频谱采样的点数和位置，相当于搬动了“栅栏”的位置，从而使得原来被挡住的一些频谱的峰点或谷点显露出来。注意，这时候每根谱线多对应的频率和原来的已经不相同了。

从上面的分析过程可以看出，DFT 可以用于信号的频谱分析，但必须注意可能产生的误差，在应用过程中要尽可能减小和消除这些误差的影响。

快速傅立叶变换 FFT 并不是与 DFT 不相同的另一种变换，而是为了减少 DFT 运算次数的一种快速算法。它是对变换式（2-7）进行一次次的分解，使其成为若干小点数 DFT 的组合，从而减小运算量。常用的 FFT 是以 2 为基数，其长度N?2 。它的运算效率高，程序比较简单，使用也十分地方便。当需要进行变换的序列的长度不是 2 的整数次方的时候，为了使用以 2 为基的 FFT，可以用末尾补零的方法，使其长度延长至 2 的整数次方。IFFT一般可以通过 FFT 程序来完成，比较式（2-7）和（2-8），只要对 X(k)取共轭，进行 FFT 运算，然后再取共轭，并乘以因子 1/N，就可以完成 IFFT。

M三、实验内容及步骤

（一）编制实验用主程序及相应子程序

1、在实验之前，认真复习 DFT 和 FFT 有关的知识，阅读本实验原理与方法和实验附录部分中和本实验有关的子程序，掌握子程序的原理并学习调用方法。

2、编制信号产生子程序及本实验的频掊分析主程序。实验中需要用到的基本信号包括：

??(n?p)q?,0?n?15 （1）高斯序列：xa(n)??e?0,else?2?e?ansin2?fn,（2）衰减正弦序列：xb(n)??0,else?0?n?15

0?n?3?n?1,?4?n?7 （3）三角波序列：xc(n)??8?n,?0,else?0?n?3?4?n,?4?n?7 （4）反三角序列：xd(n)??n?3,?0,else?（二）上机实验内容

1、观察高斯序列的时域和频域特性

①固定信号xa(n)中的参数 p=8，改变 q 的值，使 q 分别等于 2，4，8。观察它们的时域和幅频特性，了解 q 取不同值的时候，对信号时域特性和幅频特性的影响。

②固定 q=8，改变 p，使 p 分别等于 8，13，14，观察参数 p 变化对信号序列时域及幅频特性的影响。注意 p 等于多少时，会发生明显的泄漏现象，混淆现象是否也随之出现？记录实验中观察到的现象，绘制相应的时域序列和幅频特性曲线。

2、观察衰减正弦序列的时域和幅频特性