内容发布更新时间 : 2024/12/26 4:31:08星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
因为松弛变量x3=2, x5=8;
按第二个最优方案，资源4有4个单位的未用量,这是因为松弛变量x6=4.
8、两个水厂A1,A2将自来水供应三个小区B1,B2,B3,每天各水厂的供应量与各小区的需求量以及各水厂调运到各小区的供水单价见表.试安排供水方案，使总供水费最小？
小区 单价/元 水厂 B1 10 7 B2 B3 供应量/t A1 A2 需求量/t 6 5 90 4 6 150 170 200 160 解：本问题可以看成是一个产销不平衡的运输问题，属于供小于求问题.为此，虚设一个水厂A0，其供水量为30吨，相应的运价均定为0，便得到一个产销平衡的运输问题如下表所示：
小区 水厂 单价/元 B1 B2 B3 供应量/t 170 200 30 A1 A2 A0 10 7 0 160 6 5 0 90 4 6 0 150 需求量/t
再利用表上作业法求解，即可获得供水费用最低的供水方案为：
A1???B2,A1???B3,A2???B1,A2???B2,小区B1将有
201501307030吨水的缺口.
总费用为 6?20?4?150?7?130?5?70?1980
四、综合应用题：
1、国际捕鲸协会在控制滥捕鲸群上获得成功后指出，此前有些鲸的种类已经濒临灭绝.目
前估计某种鲸的总数是10000头，而最多时有100000万头.它的增长符合单种群增长的逻辑斯蒂克微分方程模型，固有增长率为0.12，若时间计量单位是年，全年的总数以1000头为单位.试组建数学模型以回答下列问题：
（1）设x(t)表示t时刻该种鲸的数量，给出x(t)的表达式；
（2）何时该种鲸的增长率是增加的，何时是下降的？预测鲸鱼群发展的趋势。 解：问题分析与类比假设
由题设可知，本问题属于单种群增长模型， 给出了固有增长率为0.12，因而可以直接通过与人口增长模型做类比而获得所求微分方程模型.注意到“目前估计该种鲸的总数是10000头，而最多时有100000头”以及“全年总数以1000头为单位”意味着该种群最大数量xm?100, 而将开始研究问题时间定为t?0, 则x(0)?10： 模型建立
dxdt?0.12x(1?x100),x(0)?10.模型求解与分析（问题回答）
（1） 容易求得其解为: x(t)?1?(10010010?1)e?0.12t?1001?9e?0.12t ???（*）；
（2） 由于
dxdt是增长率，因此只有当
dxdt22其增长率才是增加的.由于当0?x??0时，
xm2时为递增区间，将x?50代入（*）式，即可求得t?18.3,即当t?18.3年时，其增长率是增加的，反之当t?18.3年时，其增长率是下降的.为预测发展趋势，只需在（*）式中令t??，即可得知x(t)?100.
（3）本问题是利用类比法建模从而解决实际问题的典型事例.
2、一个星级旅馆有150个客房，经过一段时间的经营实践，旅馆经理得到一些数据：若每间客房定价为160元，住房率为55%；每间客房定价为140元，住房率为65%；每间客房定价为120元，住房率为75%；每间客房定价为100元，住房率为85%.欲使每天收入最高，每间客房定价应为多少？
（注：以上题目均要求使用五步建模法作出）
解：（一）问题分析
1. 易于看出，定价每降低20元，住房率便增加10%，呈线性增长趋势； 2. 160元的定价是否为最高价应给予确定； （二） 是否所有客房定价相同需要确定. 模型假设
1. 在无其他信息时，每间客房的最高定价均为160元； 2. 所有客房定价相同.
（三）模型建立
根据假设1.，如果设y代表旅馆一天的总收入，而x 表示与160元相比降低的房价，则可得每降低1钱元的房价，住房率增加为10%/20=0.005.由此便可以得到
y?150(160?x)(0.55?0.005x) （1） 注意到0.55?0.005x?1,又得到0?x?90,于是得到所求的数学模型为： maxy?150(160?x)(0.55?0.005x)，0?x?90. （四）模型求解
这是一个二次函数的极值问题，利用导数方法易于得到x?25?[0,90]为唯一驻点，问题又确实存在最大值，故x?25（元）即为价格降低幅度，也即160-25=135（元）应为最大收入所对应的房价.
（五）模型分析
1. 将房价定在135元时，相应的住房率为0.55?0.005?25?67.5%,最大收入为
ymax?150?135?67.5%?13668.75（元）.表面上住房率没有达到最高，但是总收入达到最
大，这自然是住房率与价格相互制约造成.
2. 可以将五种定价的总收入求出以做比较（从略）和检验，知我们的结果是正确的. 3. 为了便于管理，将价格定在140元/（天.间）也无妨，因为此时的总收入与最高收入仅差18.75元.
4. 假如定价是180元，住房率应为45%，其相应的收入只有12150元，由此可知，我们的假设1.是正确的.