《概率论与数理统计教程》魏宗舒课后习题解答答案

(6) P(ABC)?1?P(A?B?C)?1?90%?10%

1.26 某班有n个学生参加口试，考签共N张，每人抽到的考签用后即放回，在考试结束后，问至少有一张考没有被抽到的概率是多少？

解用Ai表示“第i张考签没有被抽到”， i?1,2,?,N。要求P(nn?A)。

ii?1N?N?1?，?N?N??N?2?，……，P(Ai)??P(A1?AN)??P(AiAj)?????0 ??N??N??N?nn?N??N?1?1?1?N??N?1?P(Ai)????1????N??(?1)??1???N?

??i?1??????Nn?N??N?2?2?1?N??N?2??????P(AiAj)???????(?1)????N?，…… 22N??1?i?N??????nn?N?i?所以P(?Ai)??(?1)i?1??

?N?i?1i?11.27 从n阶行列式的一般展开式中任取一项，问这项包含主对角线元素的概率是多少？

解n阶行列式的展开式中，任一项略去符号不计都可表示为a1i1a2i2?anin，当且仅当1,2,?,n的排列(i1i2?in)中存在k使ik?k时这一项包含主对角线元素。用Ak表示事件“排列中ik?k”即第k个主对角线元素出现于展开式的某项中。则

NNnP(Ai)?N(n?2)!(n?1)!1?i?n P(AiAj)?(1?i?j?n)，…… n!n!ni?1?n?(n?i)!ni?11?所以P(?Ai)??(?1)? ?(?1)??i?n!i!i?1i?1i?1??1.29 已知一个家庭中有三个小孩，且其中一个是女孩，求至少有一个男孩的概率（假设一个小孩是男孩或是女孩

是等可能的）。

解用b,g分别表示男孩和女孩。则样本空间为：

??{(b,b,b),(b,b,g),(b,g,b)(g,b,b),(b,g,g)g,b,g}(g,g,b)(g,g,g)}

其中样本点依年龄大小的性别排列。A表示“有女孩”， B表示“有男孩”，则

P(B|A)?P(AB)6/86??

P(A)7/871.30 设M件产品中有m件是不合格品，从中任取两件，

(1)在所取产品中有一件是不合格品的条件下，求另一件也是不合格品的概率。 (2) 在所取产品中有一件是合格品的条件下，求另一件也是不合格品的概率。解（1）设A表示“所取产品中至少有一件是不合格品”， B表示“所取产品都是不合格品”，则

?m??m??M?m???2?????1????1?? ??????P(A)?P(B)??M???2?????m???2???? ?M???2????P(B|A)?P(AB)P(B)m?1??

P(A)P(A)2M?m?1?m??M?m???1????1?? ?????M???2????(2)设C表示“所取产品中至少有一件合格品”， D表示“所取产品中有一件合格品，一件不合格品”。则

?m??M?m??M?m???1????1?????2?? ??????P(C)?P(D)??M???2????P(D|C)?P(CD)P(D)2m??

P(C)P(C)M?m?11.31 n个人用摸彩的方式决定谁得一张电影票，他们依次摸彩，求： (1)已知前k?1(k?n)个人都没摸到，求第k个人摸到的概率； (2)第k(k?n)个人摸到的概率。

解设Ai表示“第i个人摸到”， i?1,2,?,n。 (1) P(Ak|A1?Ak?1)?11?

n?(k?1)n?k?1(2) P(Ak)?P(A1?Ak?1Ak)?n?1n?211????? nn?1n?k?1n1.32 已知一个母鸡生k个蛋的概率为

?kk!e??(??0)，而每一个蛋能孵化成小鸡的概率为p，证明：一个母鸡恰

(?p)r??pe。有r个下一代（即小鸡）的概率为

r!解用Ak表示“母鸡生k个蛋”， B表示“母鸡恰有r个下一代”，则

P(B)??P(Ak)P(B|Ak)??k?r???ke???k?k?rrk?r? ???p(1?p)??k!?r?(?p)r???[?(1?p)]k?r(?p)r???(1?p)?e?e ?e?r!r!(k?r)!k?r(?p)r??p?e

r! 1.33 某射击小组共有20名射手，其中一级射手4人，二级射手8人，三级射手7人，四级射手一人，一、二、三、四级射手能通过选拔进入决赛的概率分别是0.9、0.7、0.5、0.2，求在一组内任选一名射手，该射手能通过选拔进入决赛的概率。

解用Ak表示“任选一名射手为k级”， k?1,2,3,4，B表示“任选一名射手能进入决赛”，则

P(B)??P(Ak)P(B|Ak)?4?0.9?8?0.7?7?0.5?1?0.2?0.645

k?14202020201.34 在某工厂里有甲、乙、丙三台机器生产螺丝钉，它们的产量各占25%，35%，40%，并在各自的产品里，不合格品各占有5%，4%，2%。现在从产品中任取一只恰是不合格品，问此不合格品是机器甲、乙、丙生产的概率分别等于多少？

解用A1表示“任取一只产品是甲台机器生产”

A2表示“任取一只产品是乙台机器生产” A3表示“任取一只产品是丙台机器生产”

。 B表示“任取一只产品恰是不合格品”

则由贝叶斯公式：

P(A|B)?P(A1)P(B|A1)?25 P(A|B)?P(A2)P(B|A2)?28

691.35 某工厂的车床、钻床、磨床、刨床的台数之比为9:3:2:1，它们在一定时间内需要修理的概率之比为1:2:3:1。当有一台机床需要修理时，问这台机床是车床的概率是多少？解则 P(A1)?9321， P(A2)? ，P(A3)?，P(A4)? 151515151231P(B|A1)?，P(B|A2)?，P(B|A3)?，P(B|A4)?

7777P(A1)P(B|A1)由贝时叶斯公式得 P(A|B)?1?P(A)P(B|A)kkk?14?9 221.36 有朋友自远方来访，他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别是0.3、0.2、0.1、0.4。如果他乘火车、轮船、汽车来的话，迟到的概率分别是

111、、，而乘飞机不会迟到。结果他迟到了，试问他是乘火车来的概率是多43128

少？

解用A1表示“朋友乘火车来”，A2表示“朋友乘轮船来”，A3表示“朋友乘汽车来”，A4表示“朋友乘飞机来”，。 B表示“朋友迟到了”则 P(A|B)?1P(A1)P(B|A1)?P(A)P(B|A)kkk?14?1 21.37 证明：若三个事件A、B、C独立，则A?B、AB及A?B都与C独立。证明（1）P((A?B)C)?P(AC)?P(BC)?P(ABC)

=P(A?B)P(C)

（2）PABC)?P(A)P(B)P(C)?P(AB)P(C)

（3）P((A?B)C)?P((A?AB)C)?P(AC?ABC)=P(A?B)P(C)

1.38 试举例说明由P(ABC)?P(A)P(B)P(C)不能推出P(AB)?P(A)P(B)一定成立。解设??{?1,?2,?3,?4,?5}，P({?1})?118，P({?5})?， 6464A?{?1,?2}，

A?{?1,?3}，

P({?2})? P({?3})?P(A)?P(B)?P(C)?P({?4})?15，64A?{?1,?4} 则

1151??， 646441 P(ABC)?P({?1})??P(A)P(B)P(C)

641但是P(AB)?P({?1})??P(A)P(B)

641.39 设A1,A2,?,An为n个相互独立的事件，且P(Ak)?pk(1?k?n)，求下列事件的概率： (1) n个事件全不发生；

(2) n个事件中至少发生一件； (3) n个事件中恰好发生一件。解 (1) P(n?Ak?1nk)??P(Ak)??(1?pk)

k?1k?1nn(2) P(?A)?1?P(?Akk?1k?1nk)?1??(1?pk)

k?1n(3) P[?(A?Akk?1j?1j?knnj)]??(Ak?Aj)??[pk?(1?pj)].

k?1j?1j?kk?1j?1j?knnnn1.40 已知事件A,B相互独立且互不相容，求min(P(A),P(B))（注：min(x,y)表示x,y中小的一个数）。解一方面P(A),P(B)?0，另一方面P(A)P(B)?P(AB)?0，即P(A),P(B)中至少有一个等于0，所以

min(P(A),P(B))?0.

1.41 一个人的血型为O,A,B,AB型的概率分别为0.46、0.40、0.11、0.03，现在任意挑选五个人，求下列事件的概率

(1)两个人为O型，其它三个人分别为其它三种血型； (2)三个人为O型，两个人为A型； (3)没有一人为AB。

解 (1)从5个人任选2人为O型，共有????种可能，在其余3人中任选一人为A型，共有三种可能，在余下的2人中任选一人为B型，共有

种可能，另一人为AB型，顺此所求概率为：

?5??2??5?2???3?2?0.46?0.40?0.11?0.13?0.0168 ?2???22?(2) ??0.46?0.40?0.1557 ???5??3?(3) (1?0.03)?0.8587

1.42 设有两门高射炮，每一门击中目标的概率都是0.6，求同时发射一发炮弹而击中飞机的概率是多少？又若有一架敌机入侵领空，欲以99%以上的概率击中它，问至少需要多少门高射炮。

解用Ak表示“第k门高射炮发射一发炮弹而击中飞机”， k?1,2,?，B表示“击中飞机”。则P(Ak)?0.6，

5k?1,2,?。

2(1) P(A1?A2)?1?P(A1A2)?1?0.4?0.84

(2) P(A1??An)?1?P(?Ak)?1?0.4n?0.99 , n?k?1nlg0.01?5.026

lg0.4取n?6。至少需要6门高射炮，同时发射一发炮弹，可保证99%的概率击中飞机。

1.43 做一系列独立的试验，每次试验中成功的概率为p，求在成功n次之前已失败了m次的概率。

解用A表示“在成功n次之前已失败了m次”， B表示“在前n?m?1次试验中失败了m次”， C表示“第n?m次试验成功”

则 P(A)?P(BC)?P(B)P(C)????n?m?1?n?1m?p(1?p)?p ??m??n?m?1?nm????m?p(1?p)

??1.45 某数学家有两盒火柴，每盒都有n根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中抽出一根。求他用完一盒时另一盒中还有r根火柴（1?r?n）的概率。

解用Ai表示“甲盒中尚余i根火柴”，用Bj表示“乙盒中尚余j根火柴”， C,D分别表示“第2n?r次在甲盒取”，“第2n?r次在乙盒取”， A0BrC表示取了2n?r次火柴，且第2n?r次是从甲盒中取的，即在前2n?r?1在

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