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浅谈小波阈值去噪方法
作者：姚尧
来源：《创新科技》2013年第04期
随着DSP（Digital Signal Processing）技术的高速发展，人们开始把图像也视为一种重要的信息源。但由于实际中发送设备、传输信道、接收设备的特性不理想，导致在接收端获取的图像掺杂有噪声，噪声的存在使图像质量下降。因此，对于图像去噪算法的研究已经成为学术热点。
1984年，法国科学家Morlet在分析地震波时发现，传统的傅里叶变换难以达到局部分析的要求，从而提出了小波的概念。小波变换以其良好的时频局部化性能和多分辨率性能克服了Fourier分析中存在的问题，被视为信号处理领域的重大突破，特别适合非平稳、非线性信号的处理。
目前，经典的小波去噪方法大致有三类，分别是模极大值去噪算法、相关性去噪算法和小波阈值去噪算法。本文将重点讨论小波阈值去噪方法，并围绕其基本原理、阈值及阈值函数的选取以及去噪指标展开讨论。 小波变换理论 1.连续小波变换
首先定义母小波，我们把满足
（1）式中的函数称为母小波或者基小波。也就是说，ψ（t）在（-∞，+∞）的区间上对时间t的积分为零。
小波就是由母小波通过平移和伸缩变换而产生的如下函数族：
（2）式中的a称为尺度因子，即可通过调整a值实现对母小波的伸缩变换；b称为平移因子，即可通过调整b值实现对母小波的平移变换。
当{ψa，b}是由（2）式给出的小波函数f（t）∈L2（R）时，对于任意函数，它的连续小波变换（CWT）定义式为
从上式可以看出，t，a和b的连续性给计算带来了困难，同时也使连续小波变换是高冗余的。而下面介绍的离散小波变换正好克服了连续小波变换的冗余性。 2.离散小波变换
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可以通过对尺度因子a和平移因子b进行离散化处理，从而实现由连续小波变换转变到离散小波变换。可令
把（4）式代入（2）式，就可以得到离散小波函数 离散小波变换可以写为：
小波的离散化处理解释了为什么小波克服了传统的Fourier分析中的不足，因为传统的Fourier分析无法提供局部时间域上的函数特征，而小波变换可以通过选择合适的放大倍数a0m，在一个特定的位置研究函数的特征，然后再平移到其他位置继续研究。这就形象地阐述了小波的美称“数学显微镜”的由来。 小波阈值去噪的基本原理
假设在接收端得到的信号可以表示为如下形式： s（t）=f（t）+n（t）（8）
其中，f（t）为原始信号，n（t）为噪声信号，s（t）为掺杂有噪声的实际信号。 所谓去噪就是设法把原始信号f（t）与噪声信号n（t）区别开，继而将噪声信号n（t）最大程度地去除，提高实际信号的信噪比，从而恢复出原始信号f（t），使得s（t）=f（t）。大量实际工程表明，原始信号通常以低频信号或平稳信号的形式出现，而噪声信号则以高频信号的形式出现，它们的不同之处就为小波去噪提供了思路。下面以三尺度分解为例进行说明，如下图所示：
经过三级分解，噪声信号被逐层分解到cd1，cd2，cd3中，即含有噪声的信号被分离地越来越纯净。这时候人们可以通过选取合适的阈值T，对信号的小波系数和噪声的小波系数分别处理，即把大于该阈值T的部分当做是原始信号进行保留，而小于该阈值T的部分当做是噪声，将其置为零。然后对处理完的小波系数再进行反变换，即可重构出一幅经去噪的图像。 小波阈值去噪的实现可以概括为三步，用下面的方框图表示为： 阈值和阈值函数
前面已经提到过，小波阈值去噪方法的关键有两点：阈值和阈值函数的选取。小波变换的去相关性使得原始信号的小波系数幅值大且个数少，噪声信号的小波系数幅值小且分布于整个区间。因此人们将要求大于阈值的系数保留，小于阈值的系数置为零。为什么阈值的选取在小波去噪中显得尤为重要呢？设想若人们选取的阈值过大，那么原始信号的部分小波系数也将化为零，这样虽然去噪彻底，但同时也造成了原始图像信息的丢失；若选取的阈值过小，那么噪
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声信号的小波系数又将被保留，导致图像去噪不够彻底。所以无论是阈值选取的过大或者过小都会影响重构图像的质量。
下面介绍几种经典的阈值估计方法： 1.Visushrink阈值（通用阈值）
式中，σn是噪声标准方差，N为信号长度。 2.最大最小阈值
3.基于零均值正态分布的置信区 T=3σ～4σ（11）
但是传统的阈值选取方法有一定的局限性，因为对于不同尺度来说，小波系数会随着尺度的变化而发生改变，阈值不应当是一成不变的。为此，赵瑞珍和文鸿雁分别提出了改进的小波阈值算法，使得阈值在不同的尺度之下可以得到不同的值。
在小波阈值去噪方法中，阈值函数的选取最能体现出我们对大于阈值T和小于阈值T的小波系数进行的不同处理方法。如果阈值函数设计巧妙，我们就可以高效去噪，从而最大程度地恢复出原始信号。
不妨设是原始小波系数，是阈值化后的小波系数，代表示性函数。 最为经典的两种阈值函数是由Donoho于1995年提出的，分别是： 1.硬阈值函数（见图3） 2.软阈值函数（见图4）
使用硬阈值函数可以很好的保留图像的边缘特征，而使用软阈值函数处理起来要相对光滑一些。但是，以上两种传统的阈值函数都存在缺陷。由图（3）可知，使用硬阈值函数在阈值-T和+T处是不连续的，这使得重构的图像会出现截断效应（伪吉布斯效应）、振铃等视觉失真。而使用软阈值函数使得处理后的小波系数与原始信号的小波系数之间总存在着一定的偏差，也就是说这种恒定的偏差会直接影响到与原始信号的近似程度，从而影响重构图像的质量。另外，传统的软阈值函数导数不连续，然而在实际的应用中经常要对一阶甚至是高阶导数进行运算处理，所以其具有一定的局限性。 去噪评估指标