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2019-2020年中考数学复习指导抛物线内接三角形面积的计算通法

一、问题的提出

(2016年酒泉中考题)如图1(1)，已知抛物线经过A(3,0)，B(0,3)两点.

(1)求此抛物线的解析式和直线AB的解析式; (2)如图1(1)，动点E，从O点出发，沿着OA的方向以1个单位/秒的速度向终点A匀 速运动，同时，动点F从点A出发，沿着AB方向以2个单位/秒的速度向终点B匀速运动，当EF中任意一点到达终点时另一点也随之停止运动.连结EF，设运动时间为t秒，当t为何值时，VAEF为直角三角形?

(3)如图1(2)，取一根橡皮筋，两端点分别固定在A，B处，用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P在直线AB上方的抛物线上移动，动点P与A，B两点构成无数个三角形，在这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形?如果存在，求出最大面积，并指出此时点P的坐标;如果不存在，请简要说明理由.

本题第(3)问是求抛物线内接不规则三角形的最大面积问题，解这类问题有没有一种通用的方法呢?值得我们探究. 二、几种特殊情况

1.抛物线内接三角形有一边在x轴上:(这里约定A点的横坐标记为xA，A点的纵坐 标记为为yA)

如图2(1)，有

S?ABC?11AB?OC?xA?xB?yC. 22如图2(2)，有

S?ABC?11AB?DC?xA?xB?yC. 22如图2(3)，有

11AB?DC?xA?xB?yC. 222.抛物线内接三角形有一边与x轴平行:如图3(1)，有

11S?ABC?AB?DC?xA?xB?yC?yD,

2211或S?ABC?AB?OC?xB?xA?yD?yC;

22S?ABC?如图3(2)，有

S?ABC?或S?ABC11AB?DC?xA?xB?yC?yD, 2211?AB?OC?xB?xA?yD?yC. 22

在以上特殊情况下，只要求出A、B、C、D的坐标，代入即可以求出抛物线内接三

角形的面积.

三、建立模型

当抛物线内接三角形的三边均不与坐标轴平行时(如图4)，三角形的面积又该怎么计算呢?

解题的基本思路是将任意三角形转化为上述特殊的三角形，然后类比解决.

如图4，过点C作“轴的垂线交AB于点D,则?ABC被分成了两个以CD为一公共边的三角形.

过点A作AE?CD于点E，过B作BF?CD于点F，则

11S?ABC?S?CDA?S?ABC?CD?AE?CD?BF?CD?(AE?BF)，

22CD?yC?yD，

AE?BF?xC?xA?xB?xC.

QxA?xC?xB,

?AE?BF?xA?xB, ?S?ABC?1xA?xB?yC?yD. 2 综合上述，已知三角形三个顶点坐标，可得抛物线内接?ABC的面积公式: 设a?xA?xB,h?y?C?yD .

a为两点的横坐标之差，可看成是两点之间的水平距离，可以称为水平宽; h表示的是两点的纵坐标之差，可称为铅直高.在坐标系中，不规则三角形的面积公式可表示为:

S?ABC?1ah. 2 此公式适用于坐标系中的任意三角形，它和一般三角形的面积公式形成了完美的一致. 当三角形的三个顶点都在抛物线上时，点的横坐标不可能州样，不妨设xA?xC?xB. 则a?xA?x?B，即是水平宽.

过点C作x轴的垂线，与直线AB的交点记为D，则h?yC?yD，即是铅直高，于是有

S?ABC?11ah?xA?xB?yC?yD. 22 四、问题解决

上述问题中，过点P作PN//x轴，垂足为N，交AB于点M (如图1(2))，抛物线解析式为

y??x?2x?3, 直线AB的解析式为 y??x?3.

设N(x,?x?3)，则M(x,?x?2x?3). 于是有

22S?ABC?1xA?xB?yP?xM 21?(3?0)??(?x2?2x?3)?(?x?3)??? 239??x2?x

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