内容发布更新时间 : 2024/12/23 9:17:49星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
2020年高考理科数学《排列组合》题型归纳与训练
【题型归纳】
题型一 计数原理的基本应用
例1 某校开设A类选修课2门,B类选修课3门,一位同学从中选3门.若要求两类课程中各至少选一门,则不同的选法共有
A.3种 B.6种 C.9种 D.18种 【答案】 C.
【解析】 可分以下2种情况:①A类选修课选1门,B类选修课选2门,有的选法;②A类选修课选2门,B类选修课选1门,有
21C2?C3?31C2?C32?6种不同
种不同的选法.所以根据分
类计数原理知不同的选法共有6+3=9种.故要求两类课程中各至少选一门,则不同的选法共
有9种.故选:C
【易错点】注意先分类再分步
【思维点拨】两类课程中各至少选一门,包含两种情况:A类选修课选1门,B类选修课选2门;A类选修课选2门,B类选修课选1门,写出组合数,根据分类计数原理得到结果. 题型二 特殊元素以及特殊位置
例1 将A,B,C,D,E,F六个字母排成一排,且A,B均在C的同侧,则不同的排法有( )种.(用数字作答) 【答案】 480
【解析】考虑到A,B,C要求有顺序地排列,所以将这三个字母当作特殊元素对待。先排D,E,F3?120种排法;再考虑A,B,C的情况:C在最左端有2种排法,最右端也是2三个字母,有A6种排法,所以答案是120?4?480种. 【易错点】注意特殊元素的考虑
【思维点拨】对于特殊元素与特殊位置的考量,需要瞻前顾后,分析清楚情况,做到“不重复不遗漏”;如果情况过于复杂,可以考虑列举法,虽然形式上更细碎一些,但是情况分的越多越细微,每种情况越简单,准确度就越高. 题型三 捆绑型问题以及不相邻问题
例1 由1,2,3,4,5,6组成没有重复数字且1,3都不与5相邻的六位偶数的个数是( )个.
1
A.72种 B.96种 C.108种 D.144种 【答案】 C
【解析】要求是偶数,所以先确定末尾数字,有2,4,6一共3种情况;然后再确定5这个特殊数字的位置,本身有5种情况,但是考虑到要与1,3不相邻,所以根据5的左右两侧情况,分为5这个特殊数字在十万位以及十位(只有1个相邻的位置),以及其它的3个位置;然后
1113122?(C2C2A3?C3A2A2)?108种. 再考虑后面的情况.分析清楚情况后,答案就出来了:C3【易错点】需要考虑到不同位置对于后面步骤的不同影响,进行分类讨论.
【思维点拨】对于相邻问题的捆绑法,以及不相邻问题的隔离法,需要考虑到先分类再分步的基本原则,以及瞻前顾后的原则,需要考虑到选择的不同带来的对于后续安排的不同影响.对于本题,5这个数字本身有五种安排方法,但是需要注意到五个位置带来的,相邻位置的不同:如果5这个数字在首位,以及在十位时,只有1个邻位;但是如果在其它位置,就有两个邻位,所以需要分开讨论.
【巩固训练】
题型一 计数原理的基本应用
1.如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为
A.24种 B.18种 C.12种 D.9种 【答案】B
【解析】这是个分步计数的灵活应用。注意一下问题的分析,从E到F的步骤,水平方向的情况确定了,整体的路径也就确定了。水平方向如果沿一条路,有3种可能;如果沿两条路,有3种可能(注意由于要求最短路径,所以没有顺序):所以从E到F有3+3=6种情况;而从F到
G有3种可能,所以可能的情况一共有3*6=18种情况。
2.安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方
2
式共有( )
A.12种 B.18种 C.24种 D.36种 【答案】 D
【解析】 首先确定事情如何安排:要满足条件要求,得有1个人选择2项工作.哪两项工作C42,
1212C3A2?36种情况. 哪个人来做C3,剩下2个人2项工作A22:所以总的安排形式共有C43.将2名教师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有( ) A.12种 B.10种 C.9种 D.8种 【答案】A
【解析】首先确定事情如何安排:安排好甲地的情况,乙地也就唯一确定了.对于甲地的安排,
12C4?12种情况. 需要1名教师2名学生,所以共有C2题型二 特殊元素以及特殊位置
1.将数字“124467”重新排列后得到不同的偶数的个数为
A.72种 B.120种 C.192种 D.240种 【答案】 D
【解析】 注意到题中要求得到的是偶数,所以特殊位置为末位,要求末位是个偶数;另外注意到题中给出的数字,有两个4,所以需要考虑到特殊元素4以及特殊位置末位;如果末位数
5?120种情况;如果末位数字不是4,则必然是2,字为4,则前面元素可以任意排列,共有A56中选择1个,前面的数字中,两个4是没有先后顺序的,或者只排列剩余的3个数字即可,
13A5?120种情况;两者合在一起,所以最后的答案为D. 所以有C22.我们把各位数字之和为7的四位数称为“北斗数”(如2014是“北斗数”),则“北斗数”中千位
为2的共有 ( )个 . 【答案】21
【解析】给出的是个新定义,但是难度不大,需要认真读题仔细分析。千位为2,要求后三位的和为5,三个数都相同的不存在,有两位相同的005,113,221,考虑先安排特殊的元素(如005为例,5的位置有3种情况,5排定后,就唯一确定了,所以有3种情况)各有3种,所
3?6种情况,以有3*3=9种情况;三个元素都不相同的有014,023两种,进行全排列,各有A3共有2*6=12种情况。综合可知,符合要求的所谓“北斗数”共有9+12=21种情况.
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