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近世代数学习指导

1. 判断下列二元关系是否是等价关系:

设A?{a,b,c},R1?{(a,b),(b,a),(a,a),(b,b)}；

R2?{(a,b),(b,a),(a,a),(b,b),(c,c)}；

R3?{(a,b),(b,b),(c,c),(a,b),(b,a),(b,c),(c,b)}；

R4?{(a,b),(b,b),(c,c),(a,b),(b,c),(a,c)}.

提示:R1不是等价关系，因为(c,c)?R1，即不具有反身性，尽管具有对称性、传递性；R2是等价关系，因为具有反身性、对称性、传递性；R3不是等价关系，因为(a,c)?R3，即不具有传递性,尽管具有反身性、对称性；R4不是等价关系，因为(c,b)?R4，即不具有对称性,尽管具有反身性、传递性．

2.设A?Z,A?{所有偶数},?是普通数的乘法.证明:(A,?)与(A,?)不同构. 提示 若(A,?)与(A,?)同构,设?是使其同构的同构映射.

设1?2n,?1?2m,那么?(?1)??(1(?1))??(1)?(?1)?(2n)(2m),所以

(2n)(2m0?2m.若m?0,则2n?1,显然矛盾；若m?0,即?(?1)?0,则

?(1)??(?1)?(?1)?0,这样就有-1,1的象都是0,这与?是一一映射矛盾.所以, (A,?)与(A,?)不同构.

3.分别举一个无单位元、有左单位元但无单位元、有单位元的半群的例子.

a1提示 2Z,?是无单位元的半群；设S?{(0a2)|ai?Q,i?1,2}，(S,?)是具0有左单位元

1x00但无单位元的半群；Z,?,其中?,?,分别表示数的普通乘法、矩阵

的普通乘法.

4.一个有限群的每一个元的阶都有限.

提示 设G是有限群，任取a?G,则a,a2,a3,?不能全不相同,因G中只有有限个元素之故．设ai?aj,i?j,则ai?j?e,i?j?k是自然数．命

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A?{k|ak?e,k?N},则A非空,而自然数的非空集合有最小元,设A的最小元为m,则am?e,即m是a的周期.

5.设G群除单位元以外的每一个元的周期均为2,则G是交换群.

提示 ?a?G,因a2?e,而aa?1?e,故a2?aa?1,由消去律知a?1?a；任取

a,b?G则有a?a?1,b?b?1,又(ab)?1?b?1a?1?ba,但ab?G,故(ab)?1?ab进而, ab?(ab)?1?b?1a?1?ba，即G是交换群.

6.设a的周期为m,b的周期为n,(m,n)?1,且ab?ba,则ab的周期为mn. 提示 设ab的周期为k.由于(ab)mn?amnbmn?e,故k|mn,又

(ab)km?akmbkm?bkm,而(ab)km?e,故bkm?e,n|km,但(m,n)?1,故n|k.同样可

得n|k,再一次利用(m,n)?1,有mn|k,则有mn?k,即ab的周期为mn.

7.证明：阶是素数p的群G一定是循环群.

提示 因p?1,故存在a?G,a的周期为m?1,又m|p,而p是素数,则

m?p,即G?(a).

8. 假定群G的元a的周期是n.证明ar的周期是的最大公因子.

提示 首先(a)?amn,这里d?(r,n)是r和ndrndnrd?(a)?e；其次,若有自然数m,使得(ar)m?e,则

nrdar?e,故n|rm,又(n,r)?d,故有整数s、t,使得n?sd,r?td,且(s,t)?1,那

么sd|tdm,即s|tm,但(s,t)?1,故s|m,即

nn|m,从而?(ar)?. dd9. 假定群G的阶为n,且G?(a).证明：G?(ar),这里(r,n)?1. 提示 因(r,n)?1,故存在整数s、t,使得rs?nt?1,这样?am?G,有

am?amrs?mnt?(ar)ms(an)mt?(ar)ms,故ar是G的一个生成元,从而G?(ar)．

?12344?10.已知置换??(123)(45),????54321???(15243)

??(1)求?的阶；

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提示 因为?((123))?3,?((45))?2,且(123)(45)?(45)(123),(2,3)?1 故?((123)(45))?6．

(2)求????1及其阶；

提示 因为??1?(34251),故????1?(154)(23),从而?((123)(45))?6.

(3)将????1表示成形式为(1i)的2轮换的乘积.

提示 因为(i1i2?ik)?(i1ik)(i1ik?1)(i1i2),(ij)?(1i)(1j)(1i),所以 ????1?(154)(23)?(14)(15)(12)(13)(12).

10.假定～是一个群G的元间的一个等价关系，并且对于G

的任意三个元a,x,y来说，有ax～ay?x～y。

证明：与G的单位元e等价的元所作成的集合G的一个子群。

证明：设H=[e],由于～是等价关系，故e～e,即e?H;?a,b?H,则

a～e, b～e因而ae～aa?1, be～bb?1,由题设可得e～a?1, e～b?1,由对称性及传递性得b?1～a?1,a?1ab?1～a?1e,再由题设得ab?1～e即

ab?1?H,那么与G的单位元e等价的元所作成的集合G的一个子群

11.一个群G的可以写成a?1b?1ab形式的元叫做换位子,证明：

(1)所有有限个换位子的乘积组成的集合C是G的一个不变子群,称为G的导群或换位子群；

提示 由于e?e?1e?1ee,e?C；C的两个元的乘积仍是有限个换位子的乘积,因而仍是C的一个元；一个换位子的逆仍是一个换位子,所以C的一个元的逆仍是的C一个元,这样C是G的一个子群；对于a?G,c?C,aca?1?(aca?1c?1)c?C，所以C是G的一个不变子群.

(2)G／C是交换群；

令a,b?G,那么(ba)?1ab?a?1b?1ab?c?C,由此得abC?baC,即

aCbC?bCaC,因而G／C是交换群.

(3)若N是G的一个不变子群，并且G/N是交换群，那么N?C. 提示 因为G/N是交换群,所以对G的任何两个元a和b,

(aN)(bN)?(bN)(aN) ,由此得(ba)?1(ab)?a?1b?1ab?N,这样N含有一切换位子,