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2013年考研数学试题

（7）设X1,X2,X3是随机变量，且X1?N(0,1),X2?N(0,22),X3?N(5,32)，

pi?P{?2?Xi?2}(i?1,2,3)，则

（A）p1?p2?p3； （B）p2?p1?p3； （C）p3?p1?p2； （D）p1?p3?p2。 解答：

p1?P{?2?X1?2}??(2)??(?2)?2?(2)?1， p2?P{?2?X2?2}?P{p3?P{?2?X3?2}?P{?2?02?2?53??X2?02X3?53??2?022?53}??(1)??(?1)?2?(1)?1，

73)}??(?1)??(?7??()??(1)，从而有p1?p2?p3，答案为A。

3（8）设随机变量X?t(n),Y?F(1,n)，给定?(0???0.5，)常数c满足

P{X?c}??，则P{Y?c}?

2（A）?； （B）1??； （C）2?； （D）1?2?。 解答：

由于X?t(n)，所以XP{Y?c}?P{X2222?F(1,n)。

。 ?c}?P{X?c}?P{X??c}?2P{X?c}?2?。答案为（C）

（14）设随机变量Y服从参数为1的指数分布，a为常数且大于零，则

P{Y?a?1|Y?a}?＿＿＿。

解答：

?e?y,Y的概率密度函数为f(y)???0,y?0y?0。

P{Y?a?1|Y?a}?P{Y?a,Y?a?1}P{Y?a}??a?1a?af(y)dy?f(y)dye?a?ee?(a?1)??a?1?1e。

?12?x,（22）设随机变量X的概率密度为f(x)??9?0,?0?x?3其它，令随机变量

?2,?Y??X,?1,?X?11?X?2。 X?2（1）求Y的分布函数； （2）求概率P{X?Y}。 解答：

（1）设Y的分布函数为F(y)，则

F(y)?P{Y?y}?P{Y?y,X?1}?P{Y?y,1?X?2}?P{Y?y,X?2} ?P{2?y,X?1}?P{X?y,1?X?2}?P{1?y,X?2}

当y?1时，F(y)?0；

当1?y?2时，F(y)?P{X?y,1?X?2}?P{X?2}?P{1?X?y}?P{X?2}

??y191xdx?2?3219xdx?2127(y?18)；

3当y?2时，F(y)?P{X?1}?P{1?X?2}?P{X?2}?1。 （2）

P{X?Y}?P{X?Y|X?1}P{X?1}?P{X?Y|X?2}P{X?2}?P{X?Y|1?X?2}P{1?X?2}

?P{X?2|X?1}P{X?1}?P{X?1|X?2}P{X?2}?P{X?X|1?X?2}P{1?X?2}

?1?P{X?1}?0?P{X?2}?1?P{1?X?2}??2019xdx?2827。

??2??xe,?（23）设总体X的概率密度为f(x;?)??x3?0,?x?0其它，其中?为未知参数且大于

零，X1,X2,...,Xn为来自总体X的简单随机样本。

（1）求?的矩估计量；

（2）求?的最大似然估计量。 解答： （1）E(X)?????xf(x;?)dx???0x?x23e??xdx???e0???xd(??x)???，令X?E(X)，

?从而求得?的矩估计量为???X。

?n?2??x??3ei,f(xi;?)??i?1xi?0,?nn（2）L(?)??i?1xi?0其它?(i?1,2,...,n)。

当xi?0(i?1,2,...,n)时，L(?)?n?i?1?xi23?xie，

lnL(?)??[2ln??3lnxi?i?1n?xi]，

令

dlnL(?)d???[i?12??1xi]?2nn???i?11xi?0，解得??

2n

n

?

i?1

1xi

，所以?的最大似然估计

量为???2nn?i?11Xi。

2007年考研数学试题

（9）某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p(0?p?1)，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为

（A）3p(1?p)2； （B）6p(1?p)2； （C）3p(1?p)； （D）6p(1?p)。 解答：

P{前3次仅有1次击中目标,第4次击中目标}=C3p(1?p)p?3p(1?p),选C。

12222222（10）设随机变量(X,Y)服从二维正态分布，且X与Y不相关，fX(x),fY(y)分别表示X,Y的概率密度，则在Y?y的条件下，X的条件概率密度fX|Y(x|y)为

（A）fX(x)； （B）fY(y)； （C）fX(x)fY(y)； （D）解答：

由于(X,Y)服从二维正态分布，X与Y不相关，所以X与Y独立。从而可知选A。

fX(x)fY(y)。