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线性代数讲稿

讲稿编者： 安徽工业大学数理学院

应用数学系线性代数课程组

使用教材：《线性代数》（第二版） 高等教育出版社

华中科技大学数学系编

教学参考：《线性代数》（第四版）同济大学数学系编

《高等代数》（第三版）北京大学数学系编

高等教育出版社

第一章 n阶行列式

1．教学目的和要求：

(1) 使学生了解行列式概念，掌握行列式的性质.

(2) 会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式. 2．教学重点： (1) 行列式的定义.

(2) 行列式的性质及行列式按行（列）展开定理. (3) 克拉默法则. (4) 行列式的计算.

3．教学难点： 四阶及n阶行列式的计算.

4．本章结构： 行列式的理论来源于解线性方程组，所以从解二元线性方程组的

角度引入了二阶行列式，然后归纳给出了n阶行列式的定义，讨论其性质和计算方法，最后作为行列式的应用，介绍了Gramer法则。

5．教学内容：

§1.1 行列式定义

1．二阶行列式的定义

用消元法解二元线性方程组

?a11x1?a12x2?b1? ?a21x1?a22x2?b2 (1)

为消去未知数x2,以a22与a12分别乘上列两方程的两端,然后两个方程相减 得 ,

类似地消去x1,得

?a11a22?a12a21?x1?b1a22?a12b2?a11a22?a12a21?x2?a11b2?b1a21

当a11a22?a12a21?0时,求得方程组（1）的解为

ba?a12b2ab?bax1?122,x2?112121a11a22?a12a21a11a22?a12a21 (2)

(2)式中的分子、分母都是四个数分两对相乘再相减而得,其中分母a11a22?a12a21是由方程组（1）的四个系数确定的,把这四个数按它们在方程组（1）中的位置,排成二行二列（横排称行，竖排称列）的数表

a11a12

a21a22 (3)

表达式a11a22?a12a21称为数表(3)所确定的二阶行列式,并记作

a 11 a 12

a21a22(4)

数aij称为行列式(4)的元素,它的第一个下标i称为行标,表明该元素位于第i行,第二个下标j称为列标,表明该元素位于第j列.位于第i行第j列的元素称为行列式(4)的(i,j)元. 利用二阶行列式的概念，(2)式中x1,x2的分子也可写成二阶行列式，即

b11a22?a12b2?b1a12ba11b2?ba11b1a21?2a22，

a21b2

若记，D ? a 11 a12Db1a12Dab11?2?11

a,

21a22b2a22a21b2那末(2)式可写成. xDD1?1,x2?2 DD ?3x1?2x例1 求解二元线性方程组 ?2?12

?2x1?x2?12. 三阶行列式

a11a12a13定义 设有9个数排成3行3列的数表 a 21a22a23（5） a31a

32a记33a11a12a13a21a22a23a31a32a33

= (6) a11a22a33?a12a23a31?a13a21a32?a11a23a32?a12a21a33?a13a22a31

称(6)式为数表(5)所确定的三阶行列式。

12?4例2 计算三阶行列式 D??221 ?34?2

111例3 求解方程 23x?0 49x2

3. n阶行列式的定义

a11a12a 1．二阶： a11a22?a12a2121a?22