内容发布更新时间 : 2024/12/23 23:44:43星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
过程AB中从外界吸取热量Q，而在循环过程中对外做功W，其数值等于三条线所围面积（正值）。循环过程完成后，系统回到原来的状态。根据热力学第一定律，有
W?Q。
这样一来，系统在上述循环过程中就从单一热源吸热并将之完全转变为功了，
这违背了热力学第二定律的开尔文说法，是不可能的。 因此两条绝热线不可能相交。
1.15 热机在循环中与多个热源交换热量，在热机从其中吸收热量的热源中，热源的最高温度为T1，在热机向其放出热量的热源中，热源的最低温度
为T2，试根据克氏不等式证明，热机的效率不超过1?解：根据克劳修斯不等式（式（1.13.4）），有
Qi?0, （1） ?TiiT2. T1式中Qi是热机从温度为Ti的热源吸取的热量（吸热Qi为正，放热Qi为负）。 将热量重新定义，可将式（1）改写为
Qjj?Tj??kQk?0, （2） Tk式中Qj是热机从热源Tj吸取的热量，Qk是热机在热源Tk放出的热量，
Qj，Qk恒正。 将式（2）改写为
Qjj?Tj??kQk. （3） Tk假设热机从其中吸取热量的热源中，热源的最高温度为T1，在热机向其放出热量的热源中，热源的最低温度为T2，必有
Qj1Q?,??jT1jjTjQk1??TT2kk
?Q,kk故由式（3）得
11Q??jTT1j2?Q.
kk （4）
定义Q1??Qj为热机在过程中吸取的总热量，Q2??Qk为热机放出的总热量，则式（4）可表为
jkQ1Q2?, （5） T1T2或
T2Q2?. （6） T1Q1根据热力学第一定律，热机在循环过程中所做的功为
W?Q1?Q2.
热机的效率为
??QTW?1?2?1?2. （7） QQ1T1
1.16 理想气体分别经等压过程和等容过程，温度由T1升至T2。 假设?是常数，试证明前者的熵增加值为后者的?倍。
解：根据式（1.15.8），理想气体的熵函数可表达为
S?CplnT?nRlnp?S0. （1）
在等压过程中温度由T1升到T2时，熵增加值?Sp为
?Sp?CplnT2. （2） T1根据式（1.15.8），理想气体的熵函数也可表达为
S?CVlnT?nRlnV?S0. （3）
在等容过程中温度由T1升到T2时，熵增加值?SV为
?SV?CVlnT2. （4） T1所以
?Sp?SV?CpCV??. （5）
1.17 温度为0?C的1kg水与温度为100?C的恒温热源接触后，水温达到100?C。试分别求水和热源的熵变以及整个系统的总熵变。欲使参与过程的整个系统的熵保持不变，应如何使水温从0?C升至
100?C？已知水的比热容为4.18J?g?1?K?1.
解：0?C的水与温度为100?C的恒温热源接触后水温升为100?C，这一过程是不可逆过程。为求水、热源和整个系统的熵变，可以设想一个可逆过程，它使水和热源分别产生原来不可逆过程中的同样变化，通过设想的可逆过程来求不可逆过程前后的熵变。
为求水的熵变，设想有一系列彼此温差为无穷小的热源，其温度分布在0?C与100?C之间。令水依次从这些热源吸热,使水温由0?C升至
100?C。在这可逆过程中,水的熵变为
?S水??373mcpdTT273?mcpln373373?103?4.18?ln?1304.6J?k?1. （1） 273273水从0?C升温至100?C所吸收的总热量Q为
Q?mcp?T?103?4.18?100?4.18?105J.
为求热源的熵变，可令热源向温度为100?C的另一热源放出热量
Q。在这可逆过程中，热源的熵变为
?S热源4.18?105????1120.6J?K?1. （2）
373由于热源的变化相同，式（2）给出的熵变也就是原来的不可逆过程中热源的熵变。则整个系统的总熵变为
?S总??S水??S热源?184J?K?1. （3）
为使水温从0?C升至100?C而参与过程的整个系统的熵保持不变，应令水与温度分布在0?C与100?C之间的一系列热源吸热。水的熵变
?仍由式（1）给出。这一系列热源的熵变之和为 ?S水373mcpdT??S热源?????1304.6J?K?1. （4） 273T参与过程的整个系统的总熵变为
???S???S??0. （5） ?S总水热源
1.18 10A的电流通过一个25?的电阻器，历时1s。 （a）若电阻器保持为室温27?C，试求电阻器的熵增加值。 （b）若电阻器被一绝热壳包装起来，其初温为27?C，电阻器的质量为10g，比热容cp为0.84J?g?1?K?1, 问电阻器的熵增加值为多少？
解：（a）以T,p为电阻器的状态参量。设想过程是在大气压下进行的，如果电阻器的温度也保持为室温27?C不变，则电阻器的熵作为状态函数也就保持不变。
（b）如果电阻器被绝热壳包装起来，电流产生的焦耳热Q将全部被电阻器吸收而使其温度由Ti升为Tf，所以有
mcp(Tf?Ti)?i2Rt,
故
i2Rt102?25?1Tf?Ti??300??2?600K. 3mcp10?0.48?10电阻器的熵变可参照§1.17例二的方法求出，为
?S??TfmcpdTTTi?mcplnTf600?10?2?0.84?103ln?5.8J?K?1. Ti300
度?T1?T2?后的熵增。
解：以L表示杆的长度。杆的初始状态是l?0端温度为T2，l?L端
T1?T2（设T1?T2）。 这是一个非平衡状态。通L1过均匀杆中的热传导过程，最终达到具有均匀温度?T1?T2?的平衡状
2121.19 均匀杆的温度一端为T1，另一端为T2，试计算达到均匀温
温度为T1，温度梯度为
态。为求这一过程的熵变，我们将杆分为长度为dl的许多小段，如图所示。位于l到l?dl的小段，初温为
T?T2?T1?T2l. （1） L
这小段由初温T变到终温?T1?T2?后的熵增加值为
dSl?cpdl?T1?T22T12T1?T2dT2?cpdlln, （2）
T?TTT2?12lL其中cp是均匀杆单位长度的定压热容量。
根据熵的可加性，整个均匀杆的熵增加值为
?S??dSlL?T?TT?T????cp??ln12?ln?T2?12l??dl02L????cp??T?TT1?T2??T1?T2??T1?T2???cpLln12?T?llnT?l?T?l?? ?2??2??2?T?T2LLL12????????0LcpLT?T?cpLln12??T1lnT1?T2lnT2?T1?T2?2T1?T2?T1?T2T1lnT1?T2lnT2??Cp?ln??1?.2T?T?12?L （3）
式中Cp?cpL是杆的定压热容量。
1.20 一物质固态的摩尔热量为Cs，液态的摩尔热容量为Cl. 假设Cs和Cl都可看作常量. 在某一压强下，该物质的熔点为T0，相变潜热为Q0. 求在温度为T1?T1?T0?时，过冷液体与同温度下固体的摩尔熵差. 假设过冷液体的摩尔热容量亦为Cl.
解: 我们用熵函数的表达式进行计算.以T,p为状态参量. 在讨论固定压强下过冷液体与固体的熵差时不必考虑压强参量的变化.以a态表示温度为T1的固态，b态表示在熔点T0的固态. b, a两态的摩尔熵差为（略去摩尔熵Sm的下标m不写）
?Sba??T0T1CsdTT?Csln0. （1） TT1