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中考数学分类讨论题型整编
【知识整合创新】
整体感悟：分类讨论问题是创新性问题之一，此类题综合性强，难题较大，在各地中考试题中多以压轴题出现，对考生的能力要求较高，具有选拔性。目前，中考试卷中，觉见的需分类讨论的知识点有三大类：
1．代数类：代数有绝对值、方程及根的定义，函数的定义以及点（坐标未给定）所在象限等.
2．几何类：几何有各种图形的位置关系，未明确对应关系的全等或相似的可能对应情况等.
3．综合类：代数与几何类分类情况的综合运用.
特例探究：以性质、公式、定理的使用条件为标准分类的题型. 中考高分解密：
题型1.考查数学概念及定义的分类
规律提示:熟练掌握数学中的概念及定义，其中以绝对值、方程及根的定义，函数的定义尤为重要，必须明确讨论对象及原因，进而确定其存在的条件和标准。 考题1．求函数y?(?k)x?(k?3)x?5221的图象与x轴的交点？ 25?k2名师点拔：二次项系数中含有参数k，此函数可能是二次函数，也可能是一次函数，故应对分类讨论.
解：（1）当点（1，0）
5511?k?0时，即k?时，此函数为y??x?，故其与x轴只有一个交222255122时，此函数为二次函数，??(k?3)?4?(?k)??(k?2).①222121当k?2时，Δ＝0.抛物线与x轴的交点只有一个.x?x??0,x1?x2?1，交点坐标为（1，
221,0). 0）②当k?2时，Δ＞0，函数与x轴有两个不同的交点.(1,0)和(5?2k55综合所述：当k?或k?2时，函数图像与x轴只有一个交点（1，0）；当k?且k?2时，
221,0). 函数图像与x轴有两个不同交点(1,0),(5?2k（2）当?k?0，即k?变式思考1已知关于x的方程kx?2(k?4)x?(k?4)?0 （1）若方程有实数根，求k的取值范围
252（2）若等腰三角形ABC的边长a=3，另两边b和c恰好是这个方程的两个根，求ΔABC的周长.
易误点睛：根据方程定义确定方程到底是一次方程还是二次方程，同时应注意的是第（2）问中并无说明哪两边是ΔABC的腰，故应考虑其所有可能情况. 题型2：考查字母的取值情况或范围的分类.
规律提示：此类问题通常在函数中体现颇多，考查自变量的取值范围的分类，解题中应十分注意性质、定理的使用条件及范围.
考题2．（2004，河南）如图（1）边长为2的正方形ABCD中，顶点A的坐标是（0，2）一次函数y?x?t的图像l随t的不同取值变化时，位于l的右下方由l和正方形的边围成的图形面积为S（阴影部分）.
（1）当t取何值时，S＝3？
（2）在平面直角坐标系下（图2），画出S与t的函数图像.
名师点拔：设l与正方形ABCD的交点为M，N，易知ΔDMN是等腰RtΔ，只有当MD＝2时，S?MDN?1，那么S?SABCD?SMDN?3，此时求得t?4?2，第（2）问中，随着t的
变化，S的表达式发生变化，因而须分类讨论t在不同取值时S的表达式，进而作出图像.
解：（1）设l与正方形ABCD的交点为M，N， ∵l的解析式y?x?t，在x轴，y轴上所截线段相等. ∴ΔDMN为等腰RtΔDMN
∵S＝3，∴S?DMN?SABCD?S?2?2?3?1 又∵S?DMN?11MD?ND?ND2 22∴MD＝ND＝2，∴ON＝OD－DM＝4－2， 即D点的坐标为（0，4－2）
∴t?4?2，即当t?4?2时，S＝3. （2）∵直线l与y轴的交点M的坐标为(0,t)
11B??B??t2 2212当2≤t＜4时，S?SABCD?S?DMN??(t?4)?4
2∴当0≤t＜2时，S?当t≥4时，S＝4
根据以上解析式，作图如下图（图2）
图（2）
变式思考2 （2004 资阳）如图所示，在平行四边形ABCD中， AD?4cm，
∠A＝60°，BD⊥AD，一动点P从A出发，以每秒1cm的速度沿A?B?C的路线匀速运动，过点P作直线PM，使PM⊥AD.
（1）当点P运动2秒时，设直线PM与AD相交于点E，求△APE的面积；
（2）当点P运动2秒时，另一动点Q也从A出发沿A?B?C的路线运动，且在AB上以每秒1cm的速度匀速运动，在BC上
以每秒2cm的速度匀速运动.过Q作直线QN，使QN//PM.设点Q运动的时间为t秒（0≤t≤10），直线PM与QN截平行四边形ABCD所得图形的面积为Scm2. ①求S关于t的函数关系式；②（附加题）求S的最大值.
易误点睛：讨论变量t的取值范围，是解本题的关键，解此类题应十分注意变量的取值须符合题意，逐层分析.
题型3．考查图形的位置关系或形状的分类.
规律提示：熟知直角三角形的直角，等腰三角形的腰与角以及圆的对称性，根据图形的特殊性质，找准讨论对象，逐一解决.
考题3．（2004 上海）在ΔABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝22，圆A的半径为1，如图所示，若点O在BC边上运动，（与点B和C不重合）， 设BO＝x，ΔAOC的面积为y.
（1）求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域. （2）以点O为圆心，BO长为半径作圆O，求当圆O 与圆A相切时ΔAOC的面积.
名师点拔：（1）过点A作AD⊥BC于D点 ∵AB＝AC＝22 ∴AD＝AB?sin45?=2