内容发布更新时间 : 2024/12/29 22:06:45星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
全等三角形与角平分线
全等图形：能够完全重合的两个图形就是全等图形． 全等多边形： 能够完全重合的多边形就是全等多边形．
相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角． 全等多边形的对应边、对应角分别相等．
如下图，两个全等的五边形，记作：五边形ABCDE≌五边形A'B'C'D'E'． 这里符号“≌”表示全等，读作“全等于”．
AEA'E'BCD
全等三角形：能够完全重合的三角形就是全等三角形．
C'B'D'全等三角形的对应边相等，对应角分别相等；
反之，如果两个三角形的边和角分别对应相等，那么这两个三角形全等． 全等三角形对应的中线、高线、角平分线及周长面积均相等．
全等三角形的概念与表示：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形．能够相互重合的顶点、边、角分别叫作对应顶点、对应边、对应角．全等符号为“≌”．
全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．
寻找对应边和对应角，常用到以下方法：
(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3)有公共边的，公共边常是对应边． (4)有公共角的，公共角常是对应角． (5)有对顶角的，对顶角常是对应角． 全等三角形的判定方法：
(1) 边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． (2) 角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． (3) 边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等．
(4) 角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． (5) 斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．
判定三角形全等的基本思路：
? 找夹角?SAS?已知两边? 找直角?HL
? 找另一边?SSS?? 边为角的对边→找任意一角→AAS?? 找这条边上的另一角→ASA? 已知一边一角?? 边就是角的一条边 找这条边上的对角→AAS??? 找该角的另一边→SAS???? 找两角的夹边?ASA已知两角?
找任意一边?AAS?
全等三角形的图形归纳起来有以下几种典型形式：
⑴ 平移全等型
⑵ 对称全等型
⑶ 旋转全等型
由全等可得到的相关定理：
⑴ 角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等． ⑵ 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上．
⑶ 等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角)． ⑷ 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合．
⑸ 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等⑹ 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等．
⑺ 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
与角平分线相关的问题
角平分线的两个性质：
⑴角平分线上的点到角的两边的距离相等； ⑵到角的两边距离相等的点在角的平分线上． 它们具有互逆性．
角平分线是天然的、涉及对称的模型，一般情况下，有下列三种作辅助线的方式： 1． 由角平分线上的一点向角的两边作垂线，
2． 过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形， 3． OA?OB，这种对称的图形应用得也较为普遍，
AOBPAOBPOAPB
三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线
三角形中线的相关定理： 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半
等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合) 三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半． 中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边． 中线中位线相关问题(涉及中点的问题)
见到中线(中点)，我们可以联想的内容无非是倍长中线以及中位线定理(以后还要学习中线长公式)，尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见．
例题精讲
板块一、全等三角形的认识与性质
【例1】 在AB、AC上各取一点E、D，使AE?AD，连接BD、CE相交于O再连结AO、BC，
若?1??2，则图中全等三角形共有哪几对？并简单说明理由．
BEA12OCD
【巩固】如图所示，AB?AD，BC?DC，E、F在AC上，AC与BD相交于P．图中有几对全等三
角形？请一一找出来，并简述全等的理由． BAEPFCD
板块二、三角形全等的判定与应用
【例2】 (2008年巴中市高中阶段教育学校招生考试)如图，AC∥DE，BC∥EF，AC?DE．求证：
AF?BD．
EAFBDC
【例3】 (2008年宜宾市)已知：如图，AD?BC，AC?BD，求证：?C??D．
DOC
AB
【巩固】如图，AC、BD相交于O点，且AC?BD，AB?CD，求证：OA?OD．