内容发布更新时间 : 2025/4/2 23:00:48星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
课时跟踪检测(十九)
1.(2017·石家庄质检)设M,N,T是椭圆+=1上的三个点,M,N在直线x=8
1612上的射影分别为M1,N1.
(1)若直线MN过原点O,直线MT,NT的斜率分别为k1,k2,求证:k1k2为定值; (2)若M,N不是椭圆长轴的端点,点L的坐标为(3,0),△M1N1L与△MNL的面积之比为5∶1,求MN中点K的轨迹方程.
x2y2
y0-q解:(1)证明:设M(p,q),N(-p,-q),T(x0,y0),则k1k2=
x0-p2
y0+qy20-q=22,x0+px0-p??16+12=1,
又?xy??16+12=1,
2
0
20
p2q2
故
22
x2y20-p0-q16
+
12
=0,
2y2330-q即22=-,所以k1k2=-,为定值. x0-p44
(2)设直线MN与x轴相交于点R(r,0),
S△MNL=|r-3|·|yM-yN|,S△M1N1L=·5·|yM1-yN1|.
因为S△M1N1L=5S△MNL,
11
所以·5·|yM1-yN1|=5·|r-3|·|yM-yN|,
22又|yM1-yN1|=|yM-yN|,
解得r=4(舍去),或r=2,即直线MN经过点F(2,0). 设M(x1,y1),N(x2,y2),K(x0,y0),
①当MN垂直于x轴时,MN的中点K即为F(2,0);
1212
xy??+=1,
②当MN与x轴不垂直时,设MN的方程为y=k(x-2),则?1612
??y=kx-
得,(3+4k)x-16kx+16k-48=0.
16k16k-48
x1+x2=2,x1x2=2.
3+4k3+4k8k-6kx0=,y=022. 3+4k3+4k2
2
2
2
2
2
2
22
消去y
4y0
消去k,整理得(x0-1)+=1(y1≠0).
3
2
2
4y0
经检验,(2,0)也满足(x0-1)+=1.
3
2
2
4y综上所述,点K的轨迹方程为(x-1)+=1(x>0).
3
2
2
y2
2.(2018届高三·湘中名校联考)如图,曲线C由上半椭圆C1:2+
ax22
2=1(a>b>0,y≥0)和部分抛物线C2:y=-x+1(y≤0)连接而成,C1b与C2的公共点为A,B,其中C1的离心率为(1)求a,b的值;
(2)过点B的直线l与C1,C2分别交于点P,Q(均异于点A,B),是否存在直线l,使得以PQ为直径的圆恰好过点A,若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.
解:(1)在C2的方程中,令y=0,可得x=±1, 所以A(-1,0),B(1,0).
又A,B两点是上半椭圆C1的左、右顶点,所以b=1. 设C1的半焦距为c,由=3. 2
ca3222
及a-c=b=1可得a=2,∴a=2,b=1. 2
(2)由(1)知,上半椭圆C1的方程为+x=1(y≥0).
4
由题易知,直线l与x轴不重合也不垂直,设其方程为y=k(x-1)(k≠0). 代入C1的方程,整理得(k+4)x-2kx+k-4=0. 设点P的坐标为(xP,yP),又直线l经过点B(1,0), 2kk-4
∴xP+1=2,xP·1=2.
k+4k+4
-8k?k-4-8k?从而yP=2,∴点P的坐标为?2,2?. k+4?k+4k+4?
??y=kx-
同理,由?2
?y=-x+?
2
2
22
2
2
2
y2
2
ky2
,
得点Q的坐标为(-k-1,-k-2k). 2k―→―→
∴AP=2(k,-4),AQ=-k(1,k+2).
k+4依题意可知AP⊥AQ,
-2k―→―→
∴AP·AQ=0,即2[k-4(k+2)]=0,
k+4
2
8
∵k≠0,∴k-4(k+2)=0,解得k=-.
38
经检验,k=-符合题意,
38
故直线l的方程为y=-(x-1).
3
x2y21
3.(2017·张掖模拟)已知椭圆C:2+2=1(a>b>0)的离心率为,
ab2
5―→
右焦点为F,右顶点为E,P为直线x=a上的任意一点,且(PF+
4―→―→
PE)·EF=2.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过F且垂直于x轴的直线AB与椭圆交于A,B两点(点A在第一象限),动直线l与椭圆C交于M,N两点,且M,N位于直线AB的两侧,若始终保持∠MAB=∠NAB,求证:直线MN的斜率为定值.
?5?解:(1)设P?a,t?,F(c,0),E(a,0), ?4?
―→?5→?a→?―?―
则PF=?c-a,-t?,PE=?-,-t?,EF=(c-a,0),
?4??4?
―→―→―→?3??3?所以(PF+PE)·EF=?c-a,-2t?·(c-a,0)=2,即?c-a?·(c-a)=2,又
?2??2?
c1
e==, a2
所以a=2,c=1,b=3, 从而椭圆C的方程为+=1.
43
x2y2
?3?(2)由(1)知A?1,?,设M(x1,y1),N(x2,y2), ?2?
设MN的方程:y=kx+m,代入椭圆方程+=1,
43得(4k+3)x+8kmx+4m-12=0, 8km4m-12
所以x1+x2=-2,x1x2=2. 4k+34k+3
又M,N是椭圆上位于直线AB两侧的动点,若始终保持∠MAB=∠NAB, 33
y2-22
则kAM+kAN=0,即+=0,
x1-1x2-1
2
2
2
2
x2y2
y1-